Question

Lim(1-sinx)/(pi-2x) x->pi/2

Answer 1

Lim (1-sinx) / (π -2x)   неопределенность типа 0/0 .
x→π/2
* * * формула приведения:sinx =cos(π/2 -x)⇒1 - sinx =1 - cos(π/2 -x) и 1-cosα =2sin²α/2 * * * 
====
Lim (1-sinx)/(π -2x) = Lim (1-cos(π/2 -x)) / 2(π/2 -x) =(1/2)* Lim (1 -cost)/t  =
x→π/2........................x→π/2 ....................................................t→0 
(1/2)* Lim 2sin²(t/2)/ t  = (1/2)* Lim sin(t/2)/ (t/2) *Lim sint =(1/2)*1*0 =0.
t →0............................................t→0......................t→0

|| был проведен замена переменной  t =π/2 - x⇒ t→0 ,если   x→π/2  ||

Answer 2

Для решения этого предела, мы можем использовать некоторые свойства тригонометрии и правила Лопиталя. Давайте рассмотрим его поэтапно.

Шаг 1: Подстановка

Для начала, давайте подставим значение x, при котором x стремится к π/2 в выражение:

lim (1 - sin(x))/(π - 2x) + x, при x -> π/2

Подставим x = π/2:

(1 - sin(π/2))/(π - 2(π/2)) + π/2

Шаг 2: Упрощение

Заметим, что sin(π/2) равно 1, а 2(π/2) равно π. Также, упростим выражение, объединяя дроби:

(1 - 1)/(π - π) + π/2

0/0 + π/2

Шаг 3: Использование правила Лопиталя

Так как получили неопределенность 0/0, мы можем применить правило Лопиталя, которое позволяет нам дифференцировать числитель и знаменатель по отдельности и снова вычислить предел. Давайте продифференцируем числитель и знаменатель:

lim (d/dx (1 - sin(x)))/(d/dx (π - 2x)) + x, при x -> π/2

Шаг 4: Вычисление производных

Дифференцируем числитель и знаменатель:

lim (cos(x))/(-2) + 1, при x -> π/2

Шаг 5: Подстановка

Подставим x = π/2:

(cos(π/2))/(-2) + 1

0/(-2) + 1

0 + 1

Ответ

Таким образом, предел данного выражения равен 1.

Полученный результат показывает, что при x, стремящемся к π/2, данное выражение приближается к 1.