Question

Найти производную функции f(x)= 4sinx *tgx ,в точке x0=п / 4

Answer 1

F'(x)=4cosxtgx+4sinx/cos^2x=4sinx(1+1/cos^2x)
f'(x)=4*√2/2(1+2)=2√2*3=6√2

Answer 2

Для нахождения производной функции \(f(x) = 4\sin(x) \cdot \tan(x)\) в точке \(x_0 = \frac{\pi}{4}\), воспользуемся правилами дифференцирования элементарных функций.

1. Найдем производную функции \(f(x)\):

\[ f'(x) = \left(4\sin(x)\right)' \cdot \tan(x) + 4\sin(x) \cdot \left(\tan(x)\right)' \]

Используем производные элементарных функций:

\[ \begin{align*} &\left(4\sin(x)\right)' = 4\cos(x) \quad \text{(производная синуса)} \\ &\left(\tan(x)\right)' = \sec^2(x) \quad \text{(производная тангенса)} \end{align*} \]

Подставим полученные значения:

\[ f'(x) = 4\cos(x) \cdot \tan(x) + 4\sin(x) \cdot \sec^2(x) \]

2. Теперь подставим \(x = \frac{\pi}{4}\) в выражение для производной:

\[ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 4\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) + 4\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right) \]

Найдем значения элементарных функций в точке \(x = \frac{\pi}{4}\):

\[ \begin{align*} &\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \\ &\sec^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \end{align*} \]

Теперь подставим значения:

\[ \begin{align*} f'\left(\frac{\pi}{4}\right) &= 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 1 + 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 \\ &= 4\sqrt{2} + 4\sqrt{2} \\ &= 8\sqrt{2} \end{align*} \]

Таким образом, производная функции \(f(x) = 4\sin(x) \cdot \tan(x)\) в точке \(x_0 = \frac{\pi}{4}\) равна \(8\sqrt{2}\).