Question

Найдите уравнение касательной к графику функции f(x)=корень x, которая параллельно прямой,заданной уравнением y=x-5

Answer 1

______________________________

Answer 2

Для того, чтобы найти уравнение касательной к графику функции f(x) = √(x), которая параллельна прямой, заданной уравнением y = x - 5, нам понадобится использовать некоторые свойства производных.

Шаг 1: Найдите производную функции f(x)

Первым шагом найдем производную функции f(x). Для функции f(x) = √(x) применим правило дифференцирования для функции корня, которое гласит: (d/dx) √(x) = 1 / (2√(x))

Шаг 2: Найдите значение производной в точке, где касательная к графику параллельна прямой

Мы хотим найти уравнение касательной, которая параллельна прямой y = x - 5. Заметим, что прямая y = x - 5 имеет наклон 1. Это означает, что значение производной функции f(x) в точке, где касательная к графику параллельна прямой, должно быть равно 1.

Поставим производной функции f(x) значение 1 и решим уравнение: 1 / (2√(x)) = 1

Умножим обе части уравнения на 2√(x), чтобы избавиться от знаменателя: 2√(x) = 1

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: 4x = 1

Решим это уравнение относительно x: x = 1/4

Шаг 3: Найдите значение y в точке, где касательная параллельна прямой

Чтобы найти значение y в точке, где касательная к графику параллельна прямой, подставим найденное значение x в уравнение функции f(x): f(1/4) = √(1/4)

Упростим эту выражение: f(1/4) = 1/2

Таким образом, мы получили точку (1/4, 1/2), через которую проходит касательная, параллельная прямой y = x - 5.

Шаг 4: Найдите уравнение касательной

Так как касательная проходит через точку (1/4, 1/2) и имеет наклон 1 (параллельна прямой y = x - 5), мы можем использовать точку-наклонную форму уравнения прямой: y - y1 = m(x - x1)

где (x1, y1) - координаты точки на касательной, m - наклон касательной.

Подставим значения: y - 1/2 = 1(x - 1/4)

Раскроем скобки: y - 1/2 = x - 1/4

Перенесем все члены, содержащие y, на одну сторону уравнения: y = x - 1/4 + 1/2

Упростим уравнение: y = x + 1/4

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = √(x), параллельной прямой y = x - 5, равно y = x + 1/4.