Question

2/(ctg^2x+1) = sin2x

Answer 1

ОДЗ: ctg²x≠-1

$\frac{2}{ctg^2x+1} =sin2x \\ \\ \frac{2}{ \frac{1}{sin^2x} } =sin2x \\ \\ 2sin^2x-2sinxcosx=0 |:2 \\ sin^2x-sinxcosx=0|:cos^2x \neq 0 \\ tg^2x-tgx=0 \\ tgx(tgx-1)=0 \\ tgx=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~tgx=1 \\ x_1= \pi k,~k\in Z~~~~~~~~x_2= \frac{ \pi }{4} + \pi k,~k\in Z$

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение подробно:

\[ \frac{2}{{\cot^2 x + 1}} = \sin 2x \]

Прежде чем начать решение, давайте перепишем тангенс котангенсом, чтобы упростить уравнение:

\[ \frac{2}{{\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} + 1}} = \sin 2x \]

Теперь умножим числитель и знаменатель на \(\sin^2 x\), чтобы избавиться от дроби:

\[ \frac{2 \sin^2 x}{{\cos^2 x + \sin^2 x}} = \sin 2x \]

Так как \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\), уравнение упрощается:

\[ 2 \sin^2 x = \sin 2x \]

Теперь приведем уравнение к квадратичному виду:

\[ 2 \sin^2 x - \sin 2x = 0 \]

Факторизуем:

\[ \sin x (2 \sin x - 1) = 0 \]

Это уравнение имеет два решения:

1. \(\sin x = 0\), что означает \(x = k\pi\), где \(k\) - целое число. 2. \(2 \sin x - 1 = 0\), что приводит к \(\sin x = \frac{1}{2}\). Решения для этого случая можно найти из известных значений синуса: \(x = \frac{\pi}{6} + k\pi\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + k\pi\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, у уравнения есть бесконечное множество решений вида \(x = k\pi\), где \(k\) - целое число, и \(x = \frac{\pi}{6} + k\pi\) или \(x = \frac{5\pi}{6} + k\pi\), где \(k\) - целое число.