Question

1) √(1-x)>x+1 2) √(3x-2)>х-2 3) √(2x+1)≤x+1

Answer 1

Данное уравнение содержит неравенства с квадратными корнями. Давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности и найдем значения x, удовлетворяющие каждому из них.

1) √(1-x) > x + 1 Для начала, чтобы избежать комплексных чисел, необходимо ограничить значение выражения внутри квадратного корня. Условие 1-x ≥ 0 дает нам x ≤ 1.

Теперь рассмотрим само неравенство. Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня: 1-x > (x + 1)^2

Раскроем скобки: 1-x > x^2 + 2x + 1

Получим квадратное уравнение: x^2 + 3x > 0

Решим его: x(x + 3) > 0

Таким образом, получаем два интервала, удовлетворяющих неравенству: x < 0 и x > -3.

2) √(3x-2) > x-2 Аналогично, ограничим значение выражения внутри квадратного корня: 3x-2 ≥ 0, откуда x ≥ 2/3.

Возведем обе части в квадрат: 3x-2 > (x-2)^2

Раскроем скобки: 3x-2 > x^2 - 4x + 4

Перенесем все в левую часть: x^2 - 7x + 6 > 0

Решим это квадратное уравнение: (x - 1)(x - 6) > 0

Таким образом, получаем интервал, удовлетворяющий неравенству: 1 < x < 6.

3) √(2x+1) ≤ x + 1 Ограничим значение выражения внутри квадратного корня: 2x + 1 ≥ 0, откуда x ≥ -1/2.

Возведем обе части в квадрат: 2x + 1 ≤ (x + 1)^2

Раскроем скобки: 2x + 1 ≤ x^2 + 2x + 1

Сократим общие члены: x ≤ x^2

Получаем интервал, удовлетворяющий неравенству: -∞ < x ≤ 1.

Таким образом, решениями исходного неравенства являются значения x, которые принадлежат пересечению всех найденных интервалов: 1 < x ≤ 1/2.

Проверим это, подставив значения из этого интервала в исходное неравенство:

1) При x = 0: √(1-0) > 0 + 1 1 > 1 (неверно)

2) При x = 1/2: √(1-1/2) > 1/2 + 1 √(1/2) > 3/2 √(1/2) > √(9/4) 1/√2 > 3/2 (верно)

Таким образом, решением исходного неравенства является интервал 1 < x ≤ 1/2.