Question

В равнобедренном треугольнике основание равно 24 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.

Answer 1

Проведем высоту к основанию. Она будет являться и медианой.

По теореме Пифагора высота h равна:
h² = 13² -(1/2•24)² = 13² - 12² = 169 - 144 = 25.
h = √25 = 5 см.

Площадь треугольника равна S = 1/2ha. В данном случае a - это основание.
S = 1/2•5•24 см² = 60 см².

Радиус вписанной окружности в треугольник находится по формуле:
r = S/p, где S - площадь треугольника, p - полупериметр.

p = (24 + 13 + 13)/2 = 25 см.

r = 60 см²/25см = 2,4 см.

Радиус описанной около треугольника окружности находится по формуле:
R = abc/4S, где a, b и c - стороны треугольника

R = 24•13•13 см/4•60 = 16,9 см

Расстояние d между центрами вписанной окружности и описанной около треугольника находятся по формуле Эйлера:
d² = R² - 2Rr
d = √R(R - 2r) = √16,9(16,9 - 2•2,4) = √16,9•12,1 = √204,49 = 14,3.

Answer 2

Для начала определим радиусы вписанной и описанной окружностей в равнобедренном треугольнике, где основание равно 24 см, а боковая сторона равна 13 см.

Радиус вписанной окружности:

Радиус вписанной окружности в равнобедренном треугольнике может быть найден с помощью формулы: \[ r = \sqrt{\frac{(s-a)^2}{2}} \] где \( s \) - полупериметр треугольника, \( a \) - длина одной из равных сторон.

Для нашего треугольника: \[ s = \frac{24 + 13 + 13}{2} = 25 \] \[ r = \sqrt{\frac{(25-13)^2}{2}} = \sqrt{\frac{144}{2}} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \, \text{см} \]

Радиус описанной окружности:

Радиус описанной окружности в равнобедренном треугольнике связан с длиной боковой стороны следующим образом: \[ R = \frac{a}{2} \] где \( a \) - длина одной из равных сторон.

Для нашего треугольника: \[ R = \frac{13}{2} = 6.5 \, \text{см} \]

Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей:

Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей можно найти как разность радиусов: \[ D = R - r = 6.5 - 6\sqrt{2} \, \text{см} \]

Таким образом, радиус вписанной окружности \( r = 6\sqrt{2} \, \text{см} \), радиус описанной окружности \( R = 6.5 \, \text{см} \), и расстояние между их центрами \( D = 6.5 - 6\sqrt{2} \, \text{см} \).