Question

Упростите выражение:1+sin альфа/2cos альфа + sin 2 альфа

Answer 1

(1+sina)/(2cosa+2sinacosa)=(1+sina)/2cosa(1+sina)=1/2cosa

Answer 2

Давайте упростим выражение шаг за шагом:

Выражение: \( \frac{1 + \sin(\alpha/2)}{2\cos(\alpha) + \sin(2\alpha)} \)

1. Развернем \(\sin(2\alpha)\) в более простую формула: \(\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\)

Теперь у нас новое выражение: \( \frac{1 + \sin(\alpha/2)}{2\cos(\alpha) + 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)} \)

2. Заменим \(2\cos(\alpha)\) в числителе на \(2\cos(\alpha)\) в знаменателе, чтобы облегчить дальнейший анализ: \( \frac{1 + \sin(\alpha/2)}{2\cos(\alpha)(1 + \sin(\alpha))} \)

3. Теперь выделите общий множитель в знаменателе: \( \frac{1 + \sin(\alpha/2)}{2\cos(\alpha)(1 + \sin(\alpha))} = \frac{1 + \sin(\alpha/2)}{2\cos(\alpha)\cdot1 + 2\cos(\alpha)\sin(\alpha)} \)

4. Разделим числитель и знаменатель на \(2\cos(\alpha)\): \( \frac{(1 + \sin(\alpha/2))/(2\cos(\alpha))}{(2\cos(\alpha)\cdot1 + 2\cos(\alpha)\sin(\alpha))/(2\cos(\alpha))} \)

5. Простимифицируем числитель и знаменатель:

\[ \frac{\frac{1}{2\cos(\alpha)} + \frac{\sin(\alpha/2)}{2\cos(\alpha)}}{1 + \sin(\alpha)} \]

6. Вынесем общий множитель в числителе:

\[ \frac{1}{2\cos(\alpha)} \cdot \frac{1 + \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha)}}{1 + \sin(\alpha)} \]

7. Вспомним, что \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\), и подставим это в выражение:

\[ \frac{1}{2\cos(\alpha)} \cdot \frac{1 + \tan(\alpha/2)}{1 + \sin(\alpha)} \]

Таким образом, упрощенное выражение равно \(\frac{1}{2\cos(\alpha)} \cdot \frac{1 + \tan(\alpha/2)}{1 + \sin(\alpha)}\).