Question

ПОМОГИТЕ ПОЖ СРОЧНО РЕБЯТА!!! Решите неравенство: lg(x^2+x-20)меньшеlg(4x-2) и укажите количество его целочисленных решений

Answer 1

x^2+x-20>0 ⇒ (x+5)(x-4)>0
4x-2>0        ⇒ x>0.5
ОДЗ: x>4
x^2+x-20<4x-2
x^2-3x-18<0 ⇒ x1=-3; x2=6

{4}____-___{6}______+_______>

Ответ: количество корней 1

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы можем использовать свойства логарифмов и алгебраические методы. Давайте разберемся подробнее.

Решение неравенства:

1. Начнем с того, что применим свойство логарифма, согласно которому $\log_a(b) < \log_a(c)$ эквивалентно $b < c$. Таким образом, неравенство $lg(x^2+x-20) < lg(4x-2)$ можно переписать в виде $x^2+x-20 < 4x-2$.

2. Перенесем все члены в левую часть неравенства: $x^2+x-4x+20-2 < 0$.

3. Упростим выражение: $x^2-3x+18 < 0$.

4. Чтобы решить это квадратное неравенство, мы можем использовать метод интервалов или графический метод. Давайте воспользуемся методом интервалов.

5. Найдем корни квадратного уравнения $x^2-3x+18 = 0$. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a = 1$, $b = -3$, $c = 18$. Подставим значения в формулу: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 9 - 72 = -63$. Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней.

6. Теперь построим график функции $f(x) = x^2-3x+18$. График будет представлять собой параболу, направленную вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный.

7. Поскольку дискриминант отрицательный, парабола не пересекает ось $x$. Следовательно, уравнение $x^2-3x+18 = 0$ не имеет действительных корней, и график функции $f(x)$ находится выше оси $x$.

8. Теперь определим знак функции $f(x)$ на интервалах. Для этого возьмем произвольную точку внутри каждого интервала и подставим ее в уравнение $x^2-3x+18 < 0$. Если получится отрицательное число, то знак функции на этом интервале будет отрицательным, иначе - положительным.

9. Рассмотрим интервалы: - $(-\infty, a)$, где $a$ - первый корень уравнения $x^2-3x+18 = 0$ (не существует действительных корней). - $(a, +\infty)$.

10. Подставим произвольную точку внутри первого интервала, например, $x = 0$. Подставим в уравнение: $0^2-3 \cdot 0 + 18 < 0$. Получаем $18 < 0$, что неверно. Значит, функция $f(x)$ положительна на интервале $(-\infty, a)$.

11. Подставим произвольную точку внутри второго интервала, например, $x = 5$. Подставим в уравнение: $5^2-3 \cdot 5 + 18 < 0$. Получаем $10 < 0$, что неверно. Значит, функция $f(x)$ также положительна на интервале $(a, +\infty)$.

12. Итак, мы получили, что функция $f(x)$ положительна на всей числовой прямой. Это означает, что неравенство $x^2-3x+18 < 0$ не имеет решений.

Количество целочисленных решений:

13. Так как неравенство $x^2-3x+18 < 0$ не имеет решений, то количество целочисленных решений равно 0.

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.