Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = x + 1\x+5, на промежутке [-4;-3]

Answer 1

План действий такой:
1) ищем производную.
2) приравниваем её к нулю, ищем критические точки
3) проверяем, какие из этих точек попадают в указанный промежуток.
4) находим значения данной функции на концах  промежутка и в точках, попавших в этот промежуток.
5) из ответов выбираем наибольшее значение и наименьшее.
Начали?
1) Производная = х + 5 - (х + 1)/ (х + 5)²  ;  (х≠-5)
2) (х + 1 - х - 5)/( х + 5)² = 0;
-4/((х + 5) ² = 0 ;
Эта дробь ≠ 0, т.к. черта дроби - это деление. При делении получается нуль, если частное = 0, а  у нас частное = - 4
вывод: данная функция критических точек не имеет ( она имеет точку разрыва в точке х = -5)
3) -
4) х = -4
у = -4 + 1/-4 +5=-3
    х = -3
у = -3 + 1/ -3 +5= -1
max y = -1
min y = -3

Answer 2

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x + 1/x + 5 на промежутке [-4;-3], мы можем воспользоваться производными. Давайте начнем с нахождения производной функции y по x.

Нахождение производной функции

Функция y = x + 1/x + 5 может быть переписана как y = x + x^(-1) + 5. Теперь мы можем найти производную этой функции, используя правила дифференцирования.

y' = (x)' + (x^(-1))' + (5)'

Где (x)' обозначает производную x, (x^(-1))' - производную x^(-1), а (5)' - производную константы 5. Производная x равна 1, производная x^(-1) равна -x^(-2), а производная константы равна 0. Итак, производная функции y будет равна:

y' = 1 - x^(-2)

Нахождение критических точек

Теперь мы можем найти критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

1 - x^(-2) = 0 1 = x^(-2) x^2 = 1 x = ±1

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 1 и x = -1.

Анализ экстремумов

Для определения, является ли каждая из этих точек максимумом, минимумом или точкой перегиба, мы можем использовать вторую производную тест.

Для этого найдем вторую производную функции y:

y'' = (-2)x^(-3)

Теперь мы можем проанализировать поведение функции в окрестности каждой критической точки. Поскольку нас интересует промежуток [-4;-3], мы можем просто подставить значения -4 и -3 в исходную функцию и выбрать наибольшее и наименьшее значение.

Нахождение значений функции на промежутке

Подставляя x = -4 и x = -3 в исходную функцию, получаем:

y(-4) = -4 + 1/(-4) + 5 y(-3) = -3 + 1/(-3) + 5

Это позволит нам найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном промежутке.

Ответ

Подставив значения x = -4 и x = -3 в исходную функцию, мы получаем:

y(-4) ≈ 4.25 y(-3) ≈ 3.33

Таким образом, наибольшее значение функции на промежутке [-4;-3] равно примерно 4.25, а наименьшее значение равно примерно 3.33.