Question

f '(x)>0 если f(x)=3x-x^2-(x^3)/3

Answer 1

 f(x)=3x-x²-x³/3

f '(x) = 3 - 2х -х²

 -х² - 2х + 3 > 0

Находим нули функции f '(x) = 3 - 2х -х²

 -х² - 2х + 3= 0

D = 4+ 12 = 16

√D = 4

x₁ = (2 - 4): (-2) = 1

x₂ = (2 + 4): (-2) = -3

График функции f '(x) = 3 - 2х -х² - квадратная парабола веточками вниз. Это значит, что

при х∈(-∞; -3) f '(x) < 0

при х∈(-3; 1) f '(x) > 0

при х∈(1; +∞) f '(x) < 0

Неравенство f '(x) > 0 верно при х∈(-3; 1)

 

 

 

Answer 2

Для решения данной задачи, нам нужно найти производную функции f(x) и выяснить, когда она больше нуля. Давайте начнем с вычисления производной.

Функция f(x) дана как f(x) = 3x - x^2 - (x^3)/3. Чтобы найти производную этой функции, мы должны взять производную каждого отдельного члена и сложить их.

Производная первого члена 3x равна 3, так как производная константы равна нулю (производная x равна 1).

Производная второго члена -x^2 равна -2x, используя правило степенной функции и правило производной произведения функций.

Производная третьего члена -(x^3)/3 равна -x^2, так как при вычислении производной степенной функции мы умножаем показатель степени на коэффициент, а затем уменьшаем показатель степени на 1.

Теперь мы можем сложить все производные вместе, чтобы получить производную функции f(x):

f'(x) = 3 - 2x - x^2

Теперь, чтобы выяснить, когда производная больше нуля (f'(x) > 0), мы можем решить неравенство:

3 - 2x - x^2 > 0

Чтобы решить это квадратное неравенство, мы можем сначала найти его корни, то есть значения x, при которых левая часть равна нулю:

3 - 2x - x^2 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя факторизацию или квадратное уравнение:

(x + 1)(x - 3) = 0

Отсюда получаем два корня: x = -1 и x = 3.

Теперь мы можем построить таблицу знаков, чтобы узнать, когда производная больше нуля:

|x | -∞ | -1 | 3 | +∞ | |f'(x)| - | + | - | + |

Из таблицы знаков видно, что производная f'(x) больше нуля на интервалах (-∞, -1) и (3, +∞), что означает, что функция f(x) возрастает на этих интервалах.

Итак, ответ на ваш вопрос:

Функция f(x) = 3x - x^2 - (x^3)/3 имеет положительную производную f'(x) на интервалах (-∞, -1) и (3, +∞), что означает, что функция возрастает на этих интервалах.