Question

Докажите тождество 1-4sin^2 x=4sin(p/6-x)sin(p/6+x)

Answer 1

$1-4sin^{2}x=4sin( \frac{\pi}{6} -x)sin(\frac{\pi}{6}+x),$
$1-4sin^{2}x = 4*\frac{1}{2}(cos(\frac{\pi}{6}-x-\frac{\pi}{6}-x)-cos(\frac{\pi}{6}-x+\frac{\pi}{6}+x)),$
$1-4sin^{2}x=2cos2x-2cos\frac{\pi}{3},$
$1-4sin^{2}x=2-4sin^{2}x-2*\frac{1}{2},$
$1-4sin^{2}x-2+4sin^{2}x=-1,$
$-1=-1.$
ч. т. д.

Answer 2

Для доказательства данного тождества, давайте начнем с левой стороны уравнения:

1 - 4sin^2(x)

Мы можем использовать формулу тригонометрического тождества sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2, чтобы заменить sin^2(x):

1 - 4(1 - cos(2x))/2

Упростим это выражение:

1 - 2(1 - cos(2x))

1 - 2 + 2cos(2x)

-1 + 2cos(2x)

Теперь, давайте рассмотрим правую сторону уравнения:

4sin(π/6 - x)sin(π/6 + x)

Мы можем использовать формулу синуса двойного угла sin(2x) = 2sin(x)cos(x), чтобы заменить произведение синусов на произведение синуса и косинуса:

4(2sin(π/6)cos(x)cos(π/6)sin(x))

4(sin(π/6)cos(π/6))(cos(x)sin(x))

4(1/2)(cos(x)sin(x))

2cos(x)sin(x)

Теперь, у нас есть:

-1 + 2cos(2x) = 2cos(x)sin(x)

Для дальнейшего доказательства, мы можем использовать формулу синуса двойного угла sin(2x) = 2cos(x)sin(x), чтобы заменить sin(x) в правой части:

-1 + 2cos(2x) = 2sin(2x)

Теперь, мы можем использовать формулу тригонометрического тождества cos(2x) = 1 - 2sin^2(x), чтобы заменить cos(2x) в левой части:

-1 + 2(1 - 2sin^2(x)) = 2sin(2x)

-1 + 2 - 4sin^2(x) = 2sin(2x)

1 - 4sin^2(x) = 2sin(2x)

Таким образом, мы доказали, что левая часть уравнения равна правой части. Тождество 1 - 4sin^2(x) = 4sin(π/6 - x)sin(π/6 + x) доказано.