Question

Помогите решить неравенство. 5+ cos 2x=6 cos x

Answer 1

5+(2cos^2x-1)-6cosx=0; 5+2cos^2x-1-6cosx=0; 2cos^2x-6cosx+4=0;  вводим новую производную cosx=t €[-1;1]; 2t^2-6t+4=0; поделим все на 2, получим t^2-3t+2=0; по формуле виета находим, t=2,t=1; cosx=2, не принадлежит промежутку [-1;1]; cosx=1, x=2πn,n€z

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы должны привести его к более простому виду.

Используя тригонометрические тождества, мы можем переписать косинусы в виде суммы и разности косинусов:

5(cos^2(x) - sin^2(x)) = 6cos(x) + cos(x) 5cos^2(x) - 5sin^2(x) = 7cos(x)

Заметим, что мы можем заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x) с использованием тождества sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

5cos^2(x) - 5(1 - cos^2(x)) = 7cos(x) 5cos^2(x) - 5 + 5cos^2(x) = 7cos(x) 10cos^2(x) - 7cos(x) - 5 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого мы можем использовать формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac D = (-7)^2 - 4(10)(-5) D = 49 + 200 D = 249

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

cos(x) = (-b + sqrt(D)) / (2a) cos(x) = (-(-7) + sqrt(249)) / (2(10)) cos(x) = (7 + sqrt(249)) / 20

и

cos(x) = (-b - sqrt(D)) / (2a) cos(x) = (7 - sqrt(249)) / 20

Теперь мы можем найти значения x, используя обратную функцию косинуса:

x = arccos((7 + sqrt(249)) / 20) + 2πn и x = arccos((7 - sqrt(249)) / 20) + 2πn

где n - целое число.

Это даёт нам бесконечное количество решений для данного неравенства.