Question

Найдите критические точки функции: f (x) = x^4-2x^2-3 f(x)=x^2 + 3x / x+4

Answer 1

В критических точках производная функции равна 0 или не существует.

1)$f(x) = x^{4}-2x^{2}-3 \\ f'(x) = 4x^{3}-4x \\ 4x^{3}-4x = 0 \\ 4x(x^{2}-1)=0 \\ x_{1}=0 \\ x_{2} = \± 1$

 

2)$f(x) = \frac{x^{2}+3x}{x+4} \\ f'(x) = (\frac{1}{x+4})'(x^{2}+3x)+ (\frac{1}{x+4})(x^{2}+3x)' = \\ = -\frac{x^{2}+3x}{(x+4)^{2}}+\frac{2x+3}{x+4} = \frac{(2x+3)(x+4)-x^{2}-3x}{(x+4)^{2}}= \frac{x^{2}+20}{(x+4)^{2}}$

Числитель никогда не будет равен нулю. А в знаменателе x не должен быть равен -4.

 

Для достоверности во вложении комьютер нашел производные.

Answer 2

Для нахождения критических точек функции \( f(x) = x^4-2x^2-3 + \frac{x^2 + 3x}{x+4} \) следует выполнить несколько шагов.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции \( f(x) \) с помощью правила дифференцирования для суммы и частного:

1. Найдем производную \( f'(x) \) функции \( x^4-2x^2-3 \). Для этого используем степенное правило дифференцирования: \[ (x^n)' = nx^{n-1} \] Производная первого слагаемого: \[ (x^4)' = 4x^3 \] Производная второго слагаемого: \[ (-2x^2)' = -4x \] Таким образом, производная первой части функции равна: \[ (x^4-2x^2-3)' = 4x^3 - 4x \]

2. Теперь найдем производную \( f'(x) \) для второй части функции \( \frac{x^2 + 3x}{x+4} \). Для этого применим правило дифференцирования частного функций: \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Обозначим \( u = x^2 + 3x \) и \( v = x + 4 \). Найдем производные \( u' \) и \( v' \): - Производная \( u' \): \[ u' = (x^2 + 3x)' = 2x + 3 \] - Производная \( v' \): \[ v' = (x + 4)' = 1 \] Подставим значения в формулу для производной частного: \[ \left(\frac{x^2 + 3x}{x+4}\right)' = \frac{(2x+3)(x+4) - (x^2+3x)(1)}{(x+4)^2} \] Упростим числитель: \[ (2x+3)(x+4) - (x^2+3x) = 2x^2 + 8x + 3x + 12 - x^2 - 3x = x^2 + 8x + 12 - x^2 - 3x = 5x + 12 \] Подставим упрощенное значение в формулу: \[ \left(\frac{x^2 + 3x}{x+4}\right)' = \frac{5x + 12}{(x+4)^2} \]

Нахождение критических точек

Теперь для нахождения критических точек функции \( f(x) \) приравняем производную к нулю и найдем значения \( x \):

1. Приравниваем производную \( f'(x) \) первой части функции к нулю: \[ 4x^3 - 4x = 0 \] Выносим общий множитель: \[ 4x(x^2 - 1) = 0 \] Находим корни уравнения: \[ x = 0, \quad x = -1, \quad x = 1 \]

2. Приравниваем производную \( f'(x) \) второй части функции к нулю: \[ \frac{5x + 12}{(x+4)^2} = 0 \] Данное уравнение не имеет действительных корней, так как числитель не может быть равен нулю.

Определение типа критических точек

Для определения типа критических точек (