Question

Найдите корни уравнения cos(п/2-3х/2)=корень из 3/2, принадлежащие интервалу [3п/2; 2п]

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для решения этого уравнения, сначала нужно привести его к виду cos x = a, где a - некоторая константа. Для этого, воспользуемся формулой приведения cos(π/2 - α) = sin α и заменим cos(π/2 - 3x/2) на sin(3x/2). Тогда уравнение примет вид:

sin(3x/2) = √3/2

Далее, нужно найти все значения x, при которых синус равен √3/2. Известно, что sin α = √3/2 тогда и только тогда, когда α = π/3 + 2πk или α = 2π/3 + 2πk, где k - любое целое число. Подставляя α = 3x/2, получаем:

3x/2 = π/3 + 2πk или 3x/2 = 2π/3 + 2πk

Решая эти уравнения относительно x, находим:

x = π/2 + (4/3)πk или x = π + (4/3)πk

Теперь нужно проверить, какие из этих корней принадлежат заданному интервалу [3π/2; 2π]. Заметим, что при k = 0, первое уравнение дает x = π/2, а второе - x = π. Эти значения не подходят, так как меньше 3π/2. При k = 1, первое уравнение дает x = 7π/6, а второе - x = 7π/3. Эти значения тоже не подходят, так как первое меньше 3π/2, а второе больше 2π. При k = 2, первое уравнение дает x = 17π/6, а второе - x = 13π/3. Эти значения тоже не подходят, так как больше 2π. При k = 3, первое уравнение дает x = 11π/3, а второе - x = 19π/3. Из них только первое подходит, так как принадлежит интервалу [3π/2; 2π]. При k > 3, все значения x будут больше 2π, поэтому дальше проверять не нужно.

Итак, единственный корень уравнения, принадлежащий интервалу [3π/2; 2π], это x = 11π/3.

Вы можете посмотреть более подробное решение этого уравнения на сайте [Symbolab](https://ru.symbolab.com/solver/roots-calculator) или [OK Calculator](https://okcalc.com/ru/root/). Также вы можете найти другие примеры тригонометрических уравнений на сайте [Школково](https://2.shkolkovo.online/catalog/38?SubjectId=1) или [Math Solution](https://www.math-solution.ru/math-task/trigonometry-equality).