Question

Доведіть що 5n+2*3n-3 ділиться на 8 при будь якому натуральному n

Answer 1

5n+6n-3=11n-3
при n=1
 11*1-3=8
8/8=1
ответ:при  n=1

Answer 2

Щоб довести, що вираз 5n + 2 * 3n - 3 ділиться на 8 при будь-якому натуральному n, ми можемо використати метод доказу за індукцією.

Для цього спочатку перевіримо базовий випадок, коли n = 1: Підставляємо n = 1 виразу 5n + 2 * 3n - 3: 5 * 1 + 2 * 3 * 1 - 3 = 5 + 6 - 3 = 8 Отримали число 8, яке ділиться на 8 без остачі.

Тепер припустимо, що вираз 5n + 2 * 3n - 3 ділиться на 8 для деякого натурального числа k. Тобто, ми припускаємо, що існує ціле число q таке, що (5k + 2 * 3k - 3) = 8q.

Доведемо, що вираз 5(n+1) + 2 * 3(n+1) - 3 також ділиться на 8: 5(n+1) + 2 * 3(n+1) - 3 = 5n + 5 + 6n + 6 - 3 = 11n + 8

Тепер розглянемо вираз (11n + 8) - (5k + 2 * 3k - 3): (11n + 8) - (5k + 2 * 3k - 3) = 11n + 8 - 5k - 6k + 3 = 11n - 11k + 11 За припущенням, ми знаємо, що 5k + 2 * 3k - 3 ділиться на 8, тому (5k + 2 * 3k - 3) = 8q. Підставляємо це значення: 11n - 11k + 11 = 8q 11(n - k + 1) = 8q

Отримали, що (11(n - k + 1)) ділиться на 8. Звідси випливає, що 11(n - k + 1) також ділиться на 8. Це означає, що 11n + 8 також ділиться на 8.

Отже, ми довели, що вираз 5n + 2 * 3n - 3 ділиться на 8 при будь-якому натуральному n, використовуючи метод доказу за індукцією.