Question

Составить уравнение касательной в точке с абсциссой x0 к графику функции y: y=x^3-5x^2+2x-8,x0=2

Answer 1

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$   - уравнение касательной

$y=x^3-5x^2+2x-8,$  $x_0=2$
$y'=(x^3-5x^2+2x-8)'=3x^2-10x+2$
$y'(2)=3*2^2-10*2+2=12-20+2=-6$
$y(2)=2^3-5*2^2+2*2-8=8-20+4-8=-16$

$y=-16+(-6)(x-2)$
$y=-16-6x+12$
$y=-6x-4$

Answer 2

Уравнение касательной к графику функции

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции в заданной точке, мы можем использовать понятие производной. Производная функции показывает скорость изменения функции в каждой точке. Касательная к графику функции в точке будет иметь ту же наклонную скорость изменения, что и сама функция в этой точке.

Для данной функции y = x^3 - 5x^2 + 2x - 8, чтобы составить уравнение касательной в точке с абсциссой x0 = 2, мы должны выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдите производную функции y по переменной x. Шаг 2: Подставьте значение x0 в производную, чтобы найти наклонную скорость изменения функции в точке x0. Шаг 3: Используйте найденную наклонную скорость изменения и точку x0, чтобы составить уравнение касательной.

Шаг 1: Найдите производную функции y по переменной x.

Для нашей функции y = x^3 - 5x^2 + 2x - 8, найдем производную:

dy/dx = 3x^2 - 10x + 2

Шаг 2: Подставьте значение x0 в производную, чтобы найти наклонную скорость изменения функции в точке x0.

Подставим x0 = 2 в выражение для производной:

dy/dx = 3(2)^2 - 10(2) + 2 = 12 - 20 + 2 = -6

Таким образом, наклонная скорость изменения функции в точке x0 = 2 равна -6.

Шаг 3: Используйте найденную наклонную скорость изменения и точку x0, чтобы составить уравнение касательной.

Уравнение касательной имеет вид y - y0 = m(x - x0), где y0 - значение функции в точке x0, m - наклонная скорость изменения.

Подставим значения x0 = 2, y0 = f(x0) = f(2) в уравнение:

y - f(2) = -6(x - 2)

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = x^3 - 5x^2 + 2x - 8 в точке x0 = 2 будет:

y - f(2) = -6(x - 2)

где f(2) - значение функции в точке x0 = 2.