Question

Помогите решить тригонометрические уравнения1)2cos^2 x-5sinx+1=02)sin4x*cos2x=sin2x*cos4x3)cos2x-sinx=04)cos (0,5*пи-2x)+sinx=05)cos^4 x-cos2x=1

Answer 1

2)sin4x*cos2x=sin2x*cos4x
sina cosb=1/2 (sin(a+b)=sin(a-b))
1/2(sin6x+sin2x)=1/2(sin 6x+sin2x)
sin6x+sin2x-sin6x-sin2x=0
sin2x-sin2x=0
2sin(-x)cos2x=0
sinxcosx=0
система:sinx=0
              cos2x=0

x=πk,k принадлежит z
2x=π/2+πk,k принадлежит z

x=πk,k  прин z
x=π/4+π/2;k принадлежит z

ответ:πk,π/4+π/2;k принадлежит z

вооот))

Answer 2

Решение тригонометрических уравнений

Давайте по очереди решим каждое из данных тригонометрических уравнений.

1) 2*cos^2(x) - 5*sin(x) + 1 = 0

Для начала заметим, что уравнение содержит и косинус, и синус, поэтому мы не можем просто выразить одну из функций через другую. Однако, мы можем использовать тригонометрические тождества и идентичности, чтобы свести уравнение к одной тригонометрической функции.

Преобразуем уравнение:

2*cos^2(x) - 5*sin(x) + 1 = 0

Используем тождество cos^2(x) + sin^2(x) = 1:

2*(1 - sin^2(x)) - 5*sin(x) + 1 = 0

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

2 - 2*sin^2(x) - 5*sin(x) + 1 = 0

-2*sin^2(x) - 5*sin(x) + 3 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно sin(x). Решим его с помощью квадратного трехчлена:

sin(x) = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = -2, b = -5 и c = 3.

sin(x) = (-(-5) ± sqrt((-5)^2 - 4*(-2)*3)) / (2*(-2))

sin(x) = (5 ± sqrt(25 + 24)) / (-4)

sin(x) = (5 ± sqrt(49)) / (-4)

sin(x) = (5 ± 7) / (-4)

Таким образом, получаем два возможных значения для sin(x):

1) sin(x) = (5 + 7) / (-4) = 3/2 (не является допустимым, так как синус не может быть больше 1) 2) sin(x) = (5 - 7) / (-4) = -1/2

Теперь найдем соответствующие значения для cos(x) с использованием тождества cos^2(x) = 1 - sin^2(x):

cos^2(x) = 1 - (-1/2)^2

cos^2(x) = 1 - 1/4

cos^2(x) = 3/4

cos(x) = ± sqrt(3)/2

Таким образом, получаем два возможных значения для cos(x):

1) cos(x) = sqrt(3)/2 2) cos(x) = -sqrt(3)/2

Таким образом, решение уравнения 2*cos^2(x) - 5*sin(x) + 1 = 0:

1) x = arcsin(-1/2) + 2*pi*k, где k - целое число 2) x = pi - arcsin(-1/2) + 2*pi*k, где k - целое число

2) sin(4x)*cos(2x) = sin(2x)*cos(4x)

В данном уравнении мы имеем произведение синуса и косинуса, поэтому мы можем применить тригонометрические тождества для сворачивания уравнения в более простую форму.

Используем тождество sin(2x) = 2*sin(x)*cos(x) и cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x):

sin(4x)*(cos^2(2x) - sin^2(2x)) = sin(2x)*(cos^2(4x) - sin^2(4x))

Раскроем скобки:

sin(4x)*cos^2(2x) - sin(4x)*sin^2(2x) = sin(2x)*cos^2(4x) - sin(2x)*sin^2(4x)

Теперь заменим sin^2(2x) с использованием тождества 1 - cos^2(x):

sin(4x)*cos^2(2x) - sin(4x)*(1 - cos^2(2x)) = sin(2x)*cos^2(4x) - sin(2x)*sin^2(4x)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

sin(4x)*cos^2(2x) - sin(4x) + sin(4x)*cos^2(2x) = sin(2x)*cos^2(4x) - sin(2x)*sin^2(4x)

Упростим уравнение:

2*sin(4x)*cos^2(2x) = sin(2x)*cos^2(4x) - sin(2x)*sin^2(4x)

Факторизуем уравнение:

2*sin(4x)*cos^2(2x) = sin(2x)*(cos^2(4x) - sin^2(4x))

Используем тождество cos^2(x) - sin^2(x) = cos(2x):

2*sin(4x)*cos^2(2x) = sin(2x)*cos(2x)

Теперь мы можем разделить обе части на sin(2x), предполагая, что sin(2x) не равно 0:

2*sin(4x)*cos^2(2x) / sin(2x) = sin(2x)*cos(2x) / sin(2x)

2*sin(4x)*cos^2(2x) / sin(2x) = cos(2x)

Упростим:

2*sin(4x)*cos(2x) = cos(2x)

Теперь рассмотрим два возможных случая:

Случай 1: cos(2x) ≠ 0

Если cos(2x) ≠ 0, то мы можем разделить обе части на cos(2x):

2*sin(4x) = 1

sin(4x) = 1/2

Теперь решим уравнение sin(4x) = 1/2:

4x = arcsin(1/2) + 2*pi*k, где k - целое число

x = (arcsin(1/2) + 2*pi*k) / 4, где k - целое число

Случай 2: cos(2x) = 0

Если cos(2x) = 0, то у нас есть два подслучая:

а) sin(4x) = 0

Решением в этом случае будет x = k*pi/4, где k - целое число.

б) sin(4x) ≠ 0

Тогда мы можем разделить обе части на sin(4x):

2*cos^2(2x) = 1

cos^2(2x) = 1/2

cos(2x) = ± sqrt(2)/2

Теперь решим уравнение cos(2x) = ± sqrt(2)/2:

2x = arccos(sqrt(2)/2) + 2*pi*k, где k - целое число

2x = -arccos(sqrt(2)/2) + 2*pi*k, где k - целое число

x = (arccos(sqrt(2)/2) + 2*pi*k) / 2, где k - целое число

x = (-arccos(sqrt(2)/2) + 2*pi*k) / 2, где k - целое число

3) cos(2x) - sin(x) = 0

Данное уравнение содержит как косинус, так и синус. Мы можем преобразовать уравнение, используя тригонометрические тождества, чтобы свести его к одной тригонометрической функции.

Преобразуем уравнение:

cos(2x) - sin(x) = 0

Используем тождество cos(2x) =