Question

Как найти интеграл xarcsinx dx

Answer 1

По частям:
u = arcsin(x), du = dx/sqrt(1-x^2)
dv = dx, v = x
inegral arcsin(x)dx = x*arcsin(x) - integral xdx / sqrt(1 - x^2)
в интеграле замена t = 1 - x^2 и он превращается в табличный

Answer 2

Для того чтобы найти интеграл ∫xarcsinx dx, мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям.

Пусть u = arcsinx, тогда du/dx = 1/√(1 - x^2) и dv/dx = x. Мы можем найти v, интегрируя dv/dx, что даст v = x^2/2.

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям, которая гласит ∫u dv = uv - ∫v du.

Применяя эту формулу к ∫xarcsinx dx, получаем: ∫xarcsinx dx = (x^2/2)arcsinx - ∫(x^2/2)(1/√(1 - x^2)) dx.

Мы можем упростить последний интеграл, раскрывая скобки и упрощая: ∫(x^2/2)(1/√(1 - x^2)) dx = (1/2)∫(x^2/√(1 - x^2)) dx.

Для решения этого интеграла мы можем сделать замену переменной x = sinθ, dx = cosθ dθ. Тогда интеграл примет вид: (1/2)∫(sin^2θ/√(1 - sin^2θ)) cosθ dθ.

Мы можем использовать тригонометрическую тождественную формулу sin^2θ = 1 - cos^2θ, чтобы преобразовать интеграл: (1/2)∫((1 - cos^2θ)/√(1 - (1 - cos^2θ))) cosθ dθ.

Упрощая выражение, получаем: (1/2)∫(cosθ) cosθ dθ.

Теперь мы можем интегрировать это выражение, получив: (1/2)∫(cos^2θ) dθ = (1/2)∫(1 + cos2θ)/2 dθ = (1/4)∫(1 + cos2θ) dθ.

Интеграл ∫(1 + cos2θ) dθ легко вычисляется: (1/4)(θ + (1/2)sin2θ) + C,

где C - постоянная интегрирования.

Итак, окончательный ответ: ∫xarcsinx dx = (x^2/2)arcsinx - (1/4)(θ + (1/2)sin2θ) + C.