Question

Помогите, пожалуйста, решить систему уравнений |x-1|+|y-2|=1 y=3-|x-1|

Answer 1

См. прикреплённую картинку.                                                                                   

Answer 2

Окей, давайте решим эту систему уравнений по порядку.

Уравнение 1: |x-1| + |y-2| = 1

Уравнение 1 представляет собой уравнение с модулями, которое можно решить с помощью геометрического подхода.

1. Разберемся с модулем |x-1|: - Если x - 1 ≥ 0, то |x-1| = x-1. - Если x - 1 < 0, то |x-1| = -(x-1) = -x+1.

2. Теперь рассмотрим модуль |y-2|: - Если y - 2 ≥ 0, то |y-2| = y-2. - Если y - 2 < 0, то |y-2| = -(y-2) = -y+2.

3. Подставим значения модулей в уравнение 1 и проведем вычисления: - Если x - 1 ≥ 0 и y - 2 ≥ 0, то уравнение примет вид: x - 1 + y - 2 = 1, что эквивалентно x + y - 3 = 1. - Если x - 1 < 0 и y - 2 ≥ 0, то уравнение примет вид: -(x - 1) + y - 2 = 1, что эквивалентно -x + y - 1 = 1. - Если x - 1 ≥ 0 и y - 2 < 0, то уравнение примет вид: x - 1 + -(y - 2) = 1, что эквивалентно x - y + 1 = 1. - Если x - 1 < 0 и y - 2 < 0, то уравнение примет вид: -(x - 1) + -(y - 2) = 1, что эквивалентно -x - y + 3 = 1.

Уравнение 2: y = 3 - |x-1|

Уравнение 2 также содержит модуль, который мы можем решить посредством геометрического подхода.

1. Разберемся с модулем |x-1|: - Если x - 1 ≥ 0, то |x-1| = x-1. - Если x - 1 < 0, то |x-1| = -(x-1) = -x+1.

2. Подставим значения модуля в уравнение 2 и проведем вычисления: - Если x - 1 ≥ 0, то уравнение примет вид: y = 3 - (x - 1), что эквивалентно y = 4 - x. - Если x - 1 < 0, то уравнение примет вид: y = 3 - -(x - 1), что эквивалентно y = 3 + x - 1, что также можно записать как y = x + 2.

Решение системы уравнений:

Теперь, чтобы решить систему уравнений, мы можем объединить оба уравнения и найти значения переменных x и y, удовлетворяющие обоим уравнениям.

1. Объединим уравнения: - Из уравнения 1 мы получили 4 возможных случая: x + y - 3 = 1, -x + y - 1 = 1, x - y + 1 = 1 и -x - y + 3 = 1. - Из уравнения 2 мы получили 2 возможных случая: y = 4 - x и y = x + 2.

2. Рассмотрим каждую возможность и найдем значения переменных x и y: - Подставим первую возможность из уравнения 1 в уравнение 2: x + y - 3 = 1, y = 4 - x. Заменим y в уравнении 1: x + (4 - x) - 3 = 1. Решим это уравнение: 4 - 3 = 1, что верно. Значит, это одно из возможных решений системы. Заменим y в уравнении 2: y = 4 - x. Получаем: y = 4 - x.

- Подставим вторую возможность из уравнения 1 в уравнение 2: -x + y - 1 = 1, y = x + 2. Заменим y в уравнении 1: -x + (x + 2) - 1 = 1. Решим это уравнение: x + 1 = 1, что не верно. Значит, эта возможность не является решением системы.

- Подставим третью возможность из уравнения 1 в уравнение 2: x - y + 1 = 1, y = x + 2. Заменим y в уравнении 1: x - (x + 2) + 1 = 1. Решим это уравнение: -1 = 1, что не верно. Значит, эта возможность не является решением системы.

- Подставим четвертую возможность из уравнения 1 в уравнение 2: -x - y + 3 = 1, y = x + 2. Заменим y в уравнении 1: -x - (x + 2) + 3 = 1. Решим это уравнение: -2x + 1 = 1, что верно. Значит, это одно из возможных решений системы. Заменим y в уравнении 2: y = x + 2. Получаем: y = x + 2.

Результаты решения:

Таким образом, мы получили два возможных решения системы уравнений: 1) x + y - 3 = 1 и y = 4 - x, что эквивалентно x + (4 - x) - 3 = 1 и y = 4 - x. 2) -x - y + 3 = 1 и y = x + 2, что эквивалентно -x - (x + 2) + 3 = 1 и y = x + 2.