Question

Цифры двузначного числа таковы, что если между ними вставить число 5, то цифры полученного трехзначного числа составят арифметическую прогрессию, а если вставить число 3, то - геометрическую. Найдите это двузначное число.

Answer 1

Пусть искомое число Х=ab=10a+b
Если вставить число 5, то получится число Y=a5b=100a+50+b
При этом $a_{3}=(a,5,b)$ - арифметическая прогрессия. Тогда:
$5= \frac{a+b}{2}$

Если вставить число 3, то получится число Z=a3b=100a+30+b
При этом $b_{3}=(a,3,b)$ - геометрическая прогрессия. Тогда:
$\frac{3}{a}= \frac{b}{3}$

Запишем систему уравнений:
$\left \{ {{5= \frac{a+b}{2}} \atop { \frac{3}{a}= \frac{b}{3}}} \right.$

$\left \{ {a+b=10} \atop { ab=9}} \right.$

$\left \{ {a=10-b} \atop { b*(10-b)=9}} \right.$

$\left \{ {a=10-b} \atop { b^{2}-10b+9=0}} \right.$

$b^{2}-10b+9=0, D=100-36=64$
$b_{1}= \frac{10-8}{2}=1$
$b_{2}= \frac{10+8}{2}=9$

$a_{1}=10-1=9$
$a_{2}=10-9=1$

9, 5, 1 - арифметическая прогрессия, d=5-9=1-5=-4
9, 3, 1 - геометрическая прогрессия, q=3/9=1/3
Искомое 2-значное число 91

1, 5, 9 - арифметическая прогрессия, d=5-1=9-5=4
1, 3, 9 - не является геометрической прогрессией, q=3/1=9/3
Искомое 2-значное число 19

Ответ: 91 и 19

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно найти двузначное число, которое удовлетворяет двум условиям:

1. Если между его цифрами вставить число 5, то цифры полученного трехзначного числа будут образовывать арифметическую прогрессию. 2. Если между его цифрами вставить число 3, то цифры полученного трехзначного числа будут образовывать геометрическую прогрессию.

Давайте предположим, что исходное двузначное число имеет вид "ab", где "a" и "b" - цифры числа.

Арифметическая прогрессия

Если мы вставим число 5 между цифрами "a" и "b", то получим трехзначное число "a5b". Цифры этого числа образуют арифметическую прогрессию, то есть разница между любыми двумя соседними цифрами будет одинаковой.

Таким образом, у нас есть следующее равенство:

a - 5 = 5 - b

Разрешим это уравнение относительно "b":

a - 5 = 5 - b a + b = 10

Так как "a" и "b" - цифры двузначного числа, их сумма должна быть равна 10. Варианты комбинаций цифр, которые дают сумму 10, это (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5).

Геометрическая прогрессия

Если мы вставим число 3 между цифрами "a" и "b", то получим трехзначное число "a3b". Цифры этого числа образуют геометрическую прогрессию, то есть отношение между любыми двумя соседними цифрами будет одинаковым.

Таким образом, у нас есть следующее уравнение:

a / 3 = 3 / b

Разрешим это уравнение относительно "b":

a / 3 = 3 / b a * b = 9

Так как "a" и "b" - цифры двузначного числа, их произведение должно быть равно 9. Варианты комбинаций цифр, которые дают произведение 9, это (1, 9), (3, 3).

Найдем решение

Итак, мы получили два набора возможных пар цифр, которые удовлетворяют условиям задачи:

1. Для арифметической прогрессии: (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5). 2. Для геометрической прогрессии: (1, 9), (3, 3).

Одна пара цифр подходит для обоих прогрессий - (1, 9). Таким образом, двузначное число, которое удовлетворяет условиям задачи, это 19.

Проверим это решение:

- Для арифметической прогрессии: 1 - 5 = -4, 5 - 9 = -4. - Для геометрической прогрессии: 1 / 3 = 0.333, 3 / 9 = 0.333.

Оба случая дают одинаковую разность или отношение, что подтверждает, что число 19 удовлетворяет условиям задачи.