Question

Помогите вычислить интеграл! Задача по алгебре. Интеграл от 0 до П/2 cos3xdx

Answer 1

$\int\limits^ \frac{ \pi }{2} _0 {cos3x} \, dx =sin 3x |^{ \frac{ \pi }{2} }_0=sin(3* \frac{ \pi }{2})-sin(3*0)=sin \frac{3 \pi }{2}-0=-1$

Answer 2

Чтобы вычислить данный интеграл, мы можем воспользоваться формулой интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям гласит:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и v - функции, а du и dv - их дифференциалы.

В данном случае, мы можем выбрать u = cos(3x) и dv = dx. Тогда du = -3sin(3x)dx и v = x.

Подставим значения в формулу интегрирования по частям:

∫cos(3x)dx = xcos(3x) - ∫x(-3sin(3x))dx.

Упростим полученное выражение:

∫cos(3x)dx = xcos(3x) + 3∫xsin(3x)dx.

Теперь нам нужно вычислить интеграл ∫xsin(3x)dx. Для этого мы можем снова воспользоваться формулой интегрирования по частям.

Выберем в данном случае u = x и dv = sin(3x)dx. Тогда du = dx и v = -1/3cos(3x).

Подставим значения в формулу интегрирования по частям:

∫xsin(3x)dx = -1/3xcos(3x) + 1/3∫cos(3x)dx.

Теперь мы можем заменить ∫cos(3x)dx в полученном выражении на предыдущее значение:

∫xsin(3x)dx = -1/3xcos(3x) + 1/3(xcos(3x) + 3∫xsin(3x)dx).

Теперь нам нужно решить полученное уравнение относительно ∫xsin(3x)dx. Перенесем его в левую часть:

∫xsin(3x)dx - 1/3∫xsin(3x)dx = -1/3xcos(3x) + 1/3(xcos(3x)).

Сократим дроби:

2/3∫xsin(3x)dx = 2/3(xcos(3x)).

Теперь разделим обе части на 2/3:

∫xsin(3x)dx = xcos(3x).

Теперь мы можем подставить это значение в предыдущее уравнение:

∫cos(3x)dx = xcos(3x) + 3(xcos(3x)) = 4xcos(3x).

Таким образом, окончательный ответ:

∫cos(3x)dx = 4xcos(3x) + C,

где C - произвольная постоянная.