Question

Докажите что 7*5^2n+12*6^n делится на 19 при любом натуральном n

Answer 1

Проверяем выполнение условия при n=1
$1)7\cdot 5 ^{2}+12\cdot 6=247, \\ 247:19=13$
         выполняется
Предполагаем, что условие выполняется для n =k, т .е что
$2)7\cdot 5 ^{2k}+12\cdot 6 ^{k}=A$  кратно 19

Докажем опираясь на это предположение, что и для следующего n=k+1  условие выполняется
$3)7\cdot 5 ^{2k+2}+12\cdot 6 ^{k+1}$ кратно 19

Доказательство
Рассматриваем выражение в п. 3) и пытаемся выделить в нем выражение п.2) A:
$7\cdot 5 ^{2k+2}+12\cdot 6 ^{k+1}=7\cdot 5 ^{2k}\cdot 5 ^{2} +12\cdot 6 ^{k}\cdot 6= \\=7\cdot 5 ^{2k}\cdot 5 ^{2} +12\cdot 5 ^{2}\cdot 6 ^{k}- 12\cdot 5 ^{2}\cdot 6 ^{k}+12\cdot 6 ^{k}\cdot 6 = \\ =5 ^{2} (7\cdot 5 ^{2k} +12\cdot 6 ^{k})- 12\cdot 6 ^{k}(5 ^{2} -6)=25\cdot A - 12\cdot 6 ^{k}\cdot 19$
A кратно 19, уменьшаемое кратно, вычитаемое кратно 19, значит и вся разность кратна 19

На основании принципа математической индукции условие верно для любого натурального n

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение 7*5^2n + 12*6^n делится на 19 при любом натуральном n, мы воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая При n = 1, выражение принимает вид 7*5^2 + 12*6^1 = 7*25 + 12*6 = 175 + 72 = 247. Мы видим, что 247 не делится на 19 без остатка.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что для некоторого k, выражение 7*5^2k + 12*6^k делится на 19.

Шаг 3: Доказательство для k+1 Рассмотрим выражение при n = k+1: 7*5^2(k+1) + 12*6^(k+1) = 7*5^(2k+2) + 12*6^(k+1) = 7*25*5^(2k) + 12*6*6^k = 7*25*5^(2k) + 72*6^k.

Мы знаем, что 7*5^2k + 12*6^k делится на 19 по предположению индукции. Давайте обозначим это число как m: 7*5^2k + 12*6^k = 19m.

Теперь мы можем переписать выражение для n = k+1 следующим образом: 7*25*5^(2k) + 72*6^k = 7*25*5^(2k) + 19*4*6^k = 19(7*25*5^(2k)/19 + 4*6^k).

Заметим, что в скобках у нас получается целое число, так как 19 делит 7*25*5^(2k). Таким образом, мы можем записать: 7*25*5^(2k) + 72*6^k = 19(целое число).

Это означает, что выражение 7*5^2(k+1) + 12*6^(k+1) делится на 19, что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, что выражение 7*5^2n + 12*6^n делится на 19 при любом натуральном n, используя метод математической индукции.