Question

Найдите наименьшее значение выражения: 2cost-5

Answer 1

cost>=-1 при всех t, поэтому 2cost>=-2, 2cost-5>=-7.

min достигается, например, при t=pi

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения выражения 2cos(t) - 5, где t - угол в радианах, мы можем использовать метод дифференцирования.

Нахождение экстремумов

1. Найдем производную выражения по переменной t. Для этого используем формулу производной cos(t) = -sin(t):

d/dt (2cos(t) - 5) = -2sin(t)

2. Решим уравнение -2sin(t) = 0 для нахождения точек, в которых производная равна нулю:

-2sin(t) = 0

sin(t) = 0

Так как sin(t) равен нулю в точках, когда t равен 0, π, 2π, и т.д., мы получаем бесконечную последовательность точек, в которых производная равна нулю.

3. Теперь найдем вторую производную выражения, чтобы определить характер экстремумов. Для этого снова продифференцируем производную по переменной t:

d^2/dt^2 (2cos(t) - 5) = -2cos(t)

4. Подставим значения t, соответствующие точкам, где производная равна нулю, во вторую производную:

-2cos(0) = -2 -2cos(π) = 2 -2cos(2π) = -2

Мы видим, что в точках t = 0 и t = 2π вторая производная отрицательна, а в точке t = π она положительна.

Определение минимума

Так как в точке t = 0 вторая производная отрицательна, это указывает на наличие локального максимума. В точках t = π и t = 2π вторая производная положительна, что указывает на наличие локального минимума.

Теперь мы можем найти значения выражения 2cos(t) - 5 в точках, где производная равна нулю, и определить наименьшее значение.

Расчет значения выражения

1. Подставим t = 0 в исходное выражение:

2cos(0) - 5 = 2 - 5 = -3

2. Подставим t = π в исходное выражение:

2cos(π) - 5 = 2(-1) - 5 = -2 - 5 = -7

3. Подставим t = 2π в исходное выражение:

2cos(2π) - 5 = 2 - 5 = -3

Таким образом, наименьшее значение выражения 2cos(t) - 5 равно -7.