Question

доказать что число 16^20+2^76 делится на 17

Answer 1

16²⁰ + 2⁷⁶ = 2⁸⁰ + 2⁷⁶ = 2⁷⁶ * (2⁴ + 2⁰) = 2⁷⁶ * (16 + 1) = 17 * 2⁷⁶

Answer 2

16²⁰+2⁷⁶=(2⁴)²⁰+2⁷⁶=2⁸⁰+2⁷⁶=2⁷⁶ *(2⁴+1)=2⁷⁶ *(16+1) = 17 * 2⁷⁶

 

Answer 3

Давайте разберем это математическое утверждение.

Поиск общего решения

Мы хотим доказать, что число \(16^{20} + 2^{76}\) делится на 17. Для начала, давайте попробуем выразить \(16^{20}\) и \(2^{76}\) в более удобном виде.

Выражение чисел в более удобном виде

Мы знаем, что \(16 = 2^4\), поэтому \(16^{20} = (2^4)^{20} = 2^{80}\). Также, \(2^{76}\) уже выражено в более удобной форме.

Теперь у нас есть выражения для чисел в более удобном виде: \(16^{20} = 2^{80}\) и \(2^{76}\).

Применение модулярной арифметики

Теперь мы можем применить модулярную арифметику для доказательства того, что \(16^{20} + 2^{76}\) делится на 17. Мы можем воспользоваться свойством \(a \equiv b \pmod{m}\), где \(a\) и \(b\) имеют одинаковый остаток при делении на \(m\).

Доказательство деления на 17

Давайте подставим выражения для \(16^{20}\) и \(2^{76}\) в наше утверждение и рассмотрим остатки при делении на 17:

\((2^{80} + 2^{76}) \mod 17\)

Теперь мы можем упростить это выражение, используя свойства модулярной арифметики.

Решение

\[2^{80} \equiv 2^{80 \mod 16} \equiv 2^0 \equiv 1 \pmod{17}\]

\[2^{76} \equiv 2^{76 \mod 16} \equiv 2^12 \equiv 4096 \equiv 2 \pmod{17}\]

Теперь мы можем сложить остатки:

\[1 + 2 \equiv 3 \pmod{17}\]

Таким образом, \(16^{20} + 2^{76}\) дает остаток 3 при делении на 17. Это означает, что \(16^{20} + 2^{76}\) не делится на 17.

По результатам расчетов, число \(16^{20} + 2^{76}\) не делится на 17.