Question

∫(√1+x^2)-(√1-x^2)/√1-x^4

Answer 1

$\int \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^4}}dx=\int \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{(1-x^2)(1+x^2)}} dx=\\\\=\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} -\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}} =arcsinx-ln|x+\sqrt{1+x^2}|+C$

Answer 2

$((sqrt(1)+x^2)-(sqrt(1)-x^2))/(sqrt(1)-x^4) = \frac{2x^2}{1-2^2*x^2}$ = 
arcsinx-ln|sqrt(1+x^2)|+C

Answer 3

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод подстановки. Давайте рассмотрим его поэтапно.

Шаг 1: Подстановка

Для начала, давайте введем новую переменную замены. Пусть: $$t = \sqrt{1-x^2}$$ Тогда, мы можем выразить $x$ через $t$: $$x = \sqrt{1-t^2}$$

Шаг 2: Вычисление производных

Теперь, нам понадобится вычислить производные $dt$ и $dx$.

Для этого, продифференцируем выражение $t = \sqrt{1-x^2}$ по $x$: $$\frac{dt}{dx} = \frac{d(\sqrt{1-x^2})}{dx}$$

Используя правило цепочки для производной сложной функции, мы получаем: $$\frac{dt}{dx} = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$

Теперь мы можем выразить $dx$ через $dt$: $$dx = -\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}dt$$

Шаг 3: Замена переменных в интеграле

Теперь мы заменим переменные в исходном интеграле: $$\int \left(\sqrt{1+x^2} - \sqrt{1-x^2}\right) \frac{1}{\sqrt{1-x^4}} dx$$

Используя замену переменных, мы получаем: $$\int \left(\sqrt{1+t^2} - \sqrt{1-t^2}\right) \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{1-t^2})^4}} \left(-\frac{\sqrt{1-t^2}}{\sqrt{1-(\sqrt{1-t^2})^4}}\right) dt$$

Шаг 4: Упрощение выражения

Теперь мы можем упростить выражение под знаком интеграла: $$\int \left(\sqrt{1+t^2} - \sqrt{1-t^2}\right) \frac{-\sqrt{1-t^2}}{\sqrt{1-(\sqrt{1-t^2})^4}} dt$$

Упростим дальше, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{1+t^2}$: $$\int \frac{-\sqrt{1+t^2}(1-t^2)}{\sqrt{1-(\sqrt{1-t^2})^4}} dt$$

Шаг 5: Разложение подкоренного выражения

Для дальнейшего упрощения, мы можем разложить подкоренное выражение: $$\sqrt{1-(\sqrt{1-t^2})^4} = \sqrt{1 - (1-t^2)^2} = \sqrt{1 - (1 - 2t^2 + t^4)} = \sqrt{2t^2 - t^4}$$

Шаг 6: Итоговый интеграл

Теперь мы можем записать итоговый интеграл с учетом разложения: $$\int \frac{-\sqrt{1+t^2}(1-t^2)}{\sqrt{2t^2 - t^4}} dt$$

Дальнейшее упрощение и аналитическое решение данного интеграла может быть довольно сложным и требует применения дополнительных методов. Возможно, использование численных методов или компьютерных программ будет более эффективным для получения численного значения данного интеграла.