Question

доказать, что при всяком целом n делится на 120

Answer 1

Разложим многочлен на множители
$n^{5}-5 n^{3}+4n=n( n^{4} -5 n^{2} +4)= n(n^{4} -4 n^{2} - n^{2}+4)=\\ n(n^{2} ( n^{2} -4)-1( n^{2} -4))=n(( n^{2}-1) ( n^{2}-4))=\\ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$
Итого, получили 5 последовательных сомножителей, таких, что
n-2<n-1<n<n+1<n+2
При n=0, n=1, n=-1, n=2, n=-2
$n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2)=0$
При остальных n, значение многочлена будет всегда кратно 120, так как произведение 5 последовательных чисел будет оканчиваться на 0, а следовательно делится на 120

Answer 2

Для доказательства того, что при всяком целом n число n(n^2 - 1)(n^2 - 4)(n^2 - 9) делится на 120, можно воспользоваться методом математической индукции.

Метод математической индукции

1. База индукции: - При n=1: - n(n^2 - 1)(n^2 - 4)(n^2 - 9) = 1*(1^2 - 1)*(1^2 - 4)*(1^2 - 9) = 1*0*(-3)*(-8) = 0 - Так как 0 делится на 120, база индукции выполняется.

2. Предположение индукции: - Пусть для некоторого целого k число k(k^2 - 1)(k^2 - 4)(k^2 - 9) делится на 120.

3. Индукционный переход: - Докажем, что при условии выполнения предположения индукции, число (k+1)((k+1)^2 - 1)((k+1)^2 - 4)((k+1)^2 - 9) также делится на 120.

- Разложим (k+1)^2 - 1, (k+1)^2 - 4 и (k+1)^2 - 9: - (k+1)^2 - 1 = k^2 + 2k + 1 - 1 = k^2 + 2k - (k+1)^2 - 4 = k^2 + 2k + 1 - 4 = k^2 + 2k - 3 - (k+1)^2 - 9 = k^2 + 2k + 1 - 9 = k^2 + 2k - 8

- Теперь рассмотрим выражение (k+1)((k+1)^2 - 1)((k+1)^2 - 4)((k+1)^2 - 9): - (k+1)(k^2 + 2k)(k^2 + 2k - 3)(k^2 + 2k - 8)

- Применим предположение индукции: - Так как предполагается, что k(k^2 - 1)(k^2 - 4)(k^2 - 9) делится на 120, то оно представимо в виде 120m, где m - целое число.

- Разложим (k+1)(k^2 + 2k)(k^2 + 2k - 3)(k^2 + 2k - 8): - (k+1)(k^2 + 2k)(k^2 + 2k - 3)(k^2 + 2k - 8) = (k(k^2 - 1)(k^2 - 4)(k^2 - 9)) + (2k(k^2 - 4)(k^2 - 9)) + (k(k^2 - 1)(k^2 - 9)) + (2(k^2 - 1)(k^2 - 4)k)

- Так как каждый из этих членов делится на 120 (по предположению индукции), то их сумма также будет делиться на 120.

4. Заключение: - По методу математической индукции мы показали, что при всяком целом n число n(n^2 - 1)(n^2 - 4)(n^2 - 9) делится на 120.