Question

Составьте уравнение касательной к графику функции у=х^2+4, параллельно прямой у=-2х+6

Answer 1

Если касательная параллельна данной прямой,то f`(x0)=-2
f`(x)=2x
2x=-2
x0=-1
f(-1)=1+4=5
y=5-2(x+1)=5-2x-2=-2x+3 уравнение касательной

Answer 2

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции y = x^2 + 4, параллельно прямой y = -2x + 6, мы должны использовать два ключевых факта:

1. Касательная к графику функции в точке имеет тот же наклон, что и сам график в этой точке. 2. Для двух параллельных прямых их наклоны равны.

Нахождение наклона касательной

Для начала, нам нужно найти наклон касательной к графику функции y = x^2 + 4 в некоторой точке (a, b). Для этого мы можем использовать производную функции.

Производная функции y = x^2 + 4 может быть найдена путем взятия производной от каждого члена по отдельности. Поскольку производная показывает наклон касательной к графику функции, мы можем записать:

dy/dx = 2x

Нахождение точки касания

Чтобы найти точку касания графика функции и касательной, мы должны найти значения x и y, при которых они пересекаются. Для этого, мы можем приравнять уравнение функции y = x^2 + 4 и уравнение касательной в общем виде: y - b = m(x - a).

x^2 + 4 = 2a(x - a) + b x^2 + 4 = 2ax - 2a^2 + b

Поскольку касательная должна быть параллельна прямой y = -2x + 6, то ее наклон должен быть таким же, что и у этой прямой, то есть -2. Значит:

2a = -2 a = -1

Таким образом, мы нашли значение a, при котором касательная и прямая параллельны.

Нахождение y

Теперь, чтобы найти y, мы можем подставить найденное значение a в уравнение функции:

(-1)^2 + 4 = 1 + 4 = 5

Таким образом, точка касания графика функции и касательной - это (-1, 5).

Составление уравнения касательной

Теперь, используя найденную точку касания и наклон касательной, мы можем записать уравнение касательной в общем виде: y - b = m(x - a).

Подставляя значения, получаем:

y - 5 = -2(x + 1)

или

y = -2x - 3

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = x^2 + 4, параллельно прямой y = -2x + 6, это y = -2x - 3.