Question

Найдите экстремумы функции и определите их характер y=x^4/4+x^3/3-x^2+18

Answer 1

Y`=x³+x²-2x=x(x²+x-2)=x(x+2)(x-1)
x²+x-2=0⇒x1+x2=-1 U x1*x2=-2⇒x1=-2 U x2=1
     -                  +                    _                    +
___________________________________________
убыв      -2  возр          0    убыв          1  возр
           min                  max                  min

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции и определения их характера, нам потребуется найти производную функции и найти значения, при которых производная равна нулю или не существует. Найденные значения будут соответствовать точкам экстремума функции.

Нахождение производной функции

Данная функция представлена в виде полинома, и мы можем найти ее производную, применяя правила дифференцирования для каждого члена полинома по отдельности.

Функция: f(x) = x^4/4 + x^3/3 - x^2 + 18

Для нахождения производной функции f'(x), мы дифференцируем каждый член по отдельности. Используя правила дифференцирования, получаем:

f'(x) = (1/4) * 4x^3 + (1/3) * 3x^2 - 2x

Упрощая выражение, получаем:

f'(x) = x^3 + x^2 - 2x

Нахождение точек экстремума

Чтобы найти точки экстремума, мы приравниваем производную функции f'(x) к нулю и решаем уравнение:

x^3 + x^2 - 2x = 0

Мы можем факторизовать это уравнение:

x(x^2 + x - 2) = 0

x(x + 2)(x - 1) = 0

Отсюда видно, что уравнение имеет три корня: x = 0, x = -2 и x = 1.

Определение характера экстремумов

Чтобы определить характер экстремумов, мы можем проанализировать знак производной в окрестности каждой найденной точки экстремума.

* В точке x = 0:

Подставляя x = 0 в производную f'(x), получаем:

f'(0) = 0^3 + 0^2 - 2 * 0 = 0

Так как производная равна нулю, мы не можем сказать ничего о характере этой точки экстремума. Для определения, является ли она минимумом или максимумом, нам необходимо проанализировать окрестности точки более подробно.

* В точке x = -2:

Подставляя x = -2 в производную f'(x), получаем:

f'(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 - 2 * (-2) = -8 + 4 + 4 = 0

Также как и в предыдущем случае, производная равна нулю, поэтому нам нужно проанализировать окрестности этой точки для определения характера.

* В точке x = 1:

Подставляя x = 1 в производную f'(x), получаем:

f'(1) = 1^3 + 1^2 - 2 * 1 = 1 + 1 - 2 = 0

Опять же, производная равна нулю, и нам потребуется дополнительный анализ окрестностей для определения характера этой точки.

Анализ окрестностей точек экстремума

Чтобы определить характер каждой точки экстремума, мы можем анализировать знак производной в окрестностях каждой точки.

* Окрестность точки x = 0:

Анализируя знак производной в окрестности x = 0, мы можем выбрать тестовую точку, например, x = -1. Подставляя эту точку в производную, получаем:

f'(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 2 * (-1) = -1 + 1 + 2 = 2

Так как производная положительна при x = -1, мы можем сказать, что точка x = 0 является локальным минимумом функции.

* Окрестность точки x = -2:

Анализируя знак производной в окрестности x = -2, мы можем выбрать тестовую точку, например, x = -3. Подставляя эту точку в производную, получаем:

f'(-3) = (-3)^3 + (-3)^2 - 2 * (-3) = -27 + 9 + 6 = -12

Так как производная отрицательна при x = -3, мы можем сказать, что точка x = -2 является локальным максимумом функции.

* Окрестность точки x = 1:

Анализируя знак производной в окрестности x = 1, мы можем выбрать тестовую точку, например, x = 2. Подставляя эту точку в производную, получаем:

f'(2) = 2^3 + 2^2 - 2 * 2 = 8 + 4 - 4 = 8

Так как производная положительна при x = 2, мы можем сказать, что точка x = 1 является локальным минимумом функции.

Резюме

Итак, мы нашли три точки экстремума функции f(x) = x^4/4 + x^3/3 - x^2 + 18: x = 0, x = -2 и x = 1. Проведя анализ окрестностей каждой точки, мы определили характер каждого экстремума:

- Точка x = 0 является локальным минимумом. - Точка x = -2 является локальным максимумом. - Точка x = 1 является локальным минимумом.