Question

Решить неравенство при всех значениях параметра а. (а+3/4) Х^ +( a+1/2)х-1/4>0

Answer 1

(а+3/4) x^2 +( a+1/2)х-1/4>0
D=( a+1/2)²+4*1/4*(а+3/4)=a²+a+ 1/4+a+3/4=a²+2a+1=(a+1)²   √D=|a+1|

a≠-1;-3/4   x1=1/(2*(а+3/4))[-a-1/2-|a+1|]
x2=1/(2*(а+3/4))[-a-1/2+|a+1|]
a>-1   x1=1/(2a+3/2)[-a-1/2-a-1]=1/(2a+3/2)[-2a-3/2]= -1
x2=1/(2*(а+3/4))[-a-1/2+a+1]=1/(2a+3/2)[1/2]=1/(4a+3/4)
x<-1   x>1/(4a+3/4)
a<-1  x1=1/(2a+3/2)[-a-1/2+a+1]=1/(4a+3/4)
          x2=1/(2a+3/2)[-a-1/2-a-1]=-1
x<1/(4a+3/4)   x>-1

a=-1  -1/4x²-1/2x-1/4>0  (x+1)²<0  нет решения
a=-3/4   -1/4x>1/4    x<-1

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы можем использовать методы алгебраического анализа, такие как нахождение корней, построение числовой прямой или использование знаковой таблицы.

Метод знаковой таблицы

1. Начнем с того, что приведем неравенство к стандартному виду: `ax^2 + bx + c > 0`. В данном случае у нас неравенство `(\frac{3}{4})x^2 + (a + \frac{1}{2})x - \frac{1}{4} > 0`.

2. Рассмотрим случай, когда `a > -\frac{1}{2}`. В этом случае у нас нет неопределенности в знаке коэффициента `a`.

3. Построим знаковую таблицу для данного неравенства. Разделим числовую прямую на три интервала в соответствии с корнями квадратного уравнения `(\frac{3}{4})x^2 + (a + \frac{1}{2})x - \frac{1}{4} = 0`. Корни этого уравнения можно найти с помощью формулы дискриминанта или метода полного квадрата.

4. В каждом интервале определим знак выражения `(\frac{3}{4})x^2 + (a + \frac{1}{2})x - \frac{1}{4}`. Для этого можно выбрать точку внутри каждого интервала и подставить ее в выражение.

5. Запишем знаки в таблицу. Возможные знаки - `+` (положительный), `-` (отрицательный) или `0`.

6. Используя таблицу знаков, определим интервалы, в которых неравенство выполняется. В нашем случае, нам интересны интервалы, в которых выражение `(\frac{3}{4})x^2 + (a + \frac{1}{2})x - \frac{1}{4}` принимает положительное значение.

Пример решения

Допустим, `a = 1`. Тогда наша таблица знаков будет выглядеть следующим образом:

Interval           | (\frac{3}{4})x^2 + (\frac{3}{2})x + \frac{3}{4}
----------------------------------------------------------------------
x < r1             |         +
r1 < x < r2        |         -
x > r2             |         +

где `r1` и `r2` - корни квадратного уравнения `(\frac{3}{4})x^2 + (\frac{3}{2})x + \frac{3}{4} = 0`.

Из этой таблицы мы видим, что неравенство выполняется, когда `x < r1` или `x > r2`. То есть, для всех значений параметра `a > -\frac{1}{2}` неравенство `(\frac{3}{4})x^2 + (a + \frac{1}{2})x - \frac{1}{4} > 0` верно при `x < r1` или `x > r2`.

Пожалуйста, обратите внимание, что решение может отличаться в зависимости от значения параметра `a`, и может потребоваться более детальное рассмотрение. Если вы предоставите конкретное значение параметра `a`, я смогу дать более точный ответ.