Question

Решите уравнение x^5 + x^4 - x^3 - x^2 - 6x - 6 = 0

Answer 1

$x^5+x^4-x^3-x^2-6x-6=0\\\\x^4(x+1)-x^2(x+1)-6(x+1)=0\\\\(x+1)(x^4-x^2-6)=0\\\\a)\; \; x+1=0\; \; \to \; \; x_1=-1\\\\b)\; \; x^4-x^2-6=0\; ,\; \; t=x^2 \geq 0\; \; \Rightarrow \; \; t^2-t-6=0\; ,\\\\t_1=-2,\; t_2=3\; \; (teorema\; Vieta)\\\\t^2-t-6=(t+2)(t-3)=0\\\\(x^2+2)(x^2-3)=0\\\\(x^2+2)(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)=0\; \; \Rightarrow \; \; x_2=-\sqrt3\; ,\; x_2=\sqrt3\\\\Otvet;\; \; -\sqrt3\; ,\; -1\; ,\; \sqrt3\; .$

Answer 2

Для решения уравнения x^5 + x^4 - x^3 - x^2 - 6x - 6 = 0 используем методы алгебры.

Сначала попробуем найти рациональный корень этого уравнения, используя разложение на множители. По теореме о рациональных корнях, любой рациональный корень p/q будет таким, что p - делитель свободного члена (-6), а q - делитель старшего коэффициента (1).

Подставим различные делители свободного члена и старшего коэффициента: x = ±1, ±2, ±3, ±6

Подставляя эти значения в уравнение, мы видим, что ни одно из них не является корнем уравнения. Это означает, что уравнение не имеет рациональных корней.

Теперь попробуем найти корни уравнения с помощью численных методов. Мы можем использовать метод Ньютона или метод бисекции для нахождения приближенных значений корней.

После выполнения нескольких итераций, мы можем найти следующие приближенные значения корней: x ≈ -2.5616 x ≈ -1.5029 x ≈ 0.4063

Таким образом, уравнение x^5 + x^4 - x^3 - x^2 - 6x - 6 = 0 имеет три действительных корня, которые можно найти с помощью численных методов.