Question

4sin^2=3sinxcosx+cos^2x

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Я могу помочь вам решать тригонометрические уравнения. Ваш вопрос можно переписать так:

$$4(1-\cos^2 x)=3\sin x \cos x + \cos^2 x$$

Раскрывая скобки и перенеся все члены в левую часть, получаем:

$$4\cos^2 x - 3\sin x \cos x - 3 = 0$$

Введем замену $t = \cos x$, тогда $\sin x = \sqrt{1-t^2}$. Уравнение примет вид:

$$4t^2 - 3t\sqrt{1-t^2} - 3 = 0$$

Домножим обе части на $4(1-t^2)$ и снова перенесем все в левую часть:

$$16t^4 - 24t^2 + 9 - 48t^2 + 12t = 0$$

Упростим и отсортируем по степеням $t$:

$$16t^4 - 72t^2 + 12t + 9 = 0$$

Разложим на множители:

$$(2t-1)(8t^3 + 4t^2 - 4t - 9) = 0$$

Найдем корни первого множителя:

$$2t-1 = 0$$ $$t = \frac{1}{2}$$

Найдем корни второго множителя, применив метод Виета или калькулятор:

$$8t^3 + 4t^2 - 4t - 9 = 0$$ $$t_1 = -\frac{3}{4}, t_2 = -\frac{1}{2}, t_3 = \frac{3}{2}$$

Вернемся к исходной переменной $x$ и найдем ее значения, используя обратную функцию косинуса:

$$x_1 = \arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x_2 = \arccos -\frac{3}{4} = \pm \arccos \frac{3}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x_3 = \arccos -\frac{1}{2} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x_4 = \arccos \frac{3}{2}$$

Последнее значение не имеет смысла, так как косинус не может быть больше единицы. Таким образом, ответом являются:

$$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pm \arccos \frac{3}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Надеюсь, это было полезно. Если у вас есть другие вопросы по тригонометрии, я готов помочь.