Question

Найдите наибольшее значение функции f(x) = 9^x-81^x на отрезке [ 1/2 ; 2 ] СРОЧНО ПОЖАЛУЙСТА

Answer 1

9^x при таких значениях х монотонно растет от 3 до 81.

Сделаем замену t=9^x

f(t)=t-t^2

Необходимо найти найбольшее значение этого квадратного трехчлена на отрезке [3,81].

 

Вершина параболы t=1/2 не попадает в исследуемый промежуток. Значит, необходимо только сравнить значения на краях отрезка.

f(t=3)=3-9=-6

f(t=81)=81-81^2=-80*81<-6

 

Ответ. -6

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции f(x) = 9^x - 81^x на отрезке [1/2; 2] найдем сначала производную этой функции.

f'(x) = 9^x * ln(9) - 81^x * ln(81)

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

9^x * ln(9) - 81^x * ln(81) = 0

ln(9^x) = ln(81^x) x * ln(9) = x * ln(81) ln(9) = ln(81) x = 0

Таким образом, критическая точка находится в точке x = 0. Однако данная точка не входит в отрезок [1/2; 2], поэтому мы можем сразу перейти к нахождению значений функции на концах отрезка.

f(1/2) = 9^(1/2) - 81^(1/2) = 3 - 9 = -6 f(2) = 9^2 - 81^2 = 81 - 6561 = -6480

Таким образом, на отрезке [1/2; 2] наибольшее значение функции f(x) = 9^x - 81^x равно -6 и достигается при x = 1/2.