Question

Хорда проведена параллельно касательной к окружности.докажите что концы хорды и точка касания образуют равнобедренный треугольник.

Answer 1

Расстояния точек касания хорды АВ равноудалены от центра окружности О на расстояние = радиусу R. 
Проведи прямую ОС, соединяющую центр окружности О и точку касания.С Эта прямая перпендикулярна и хорде АВ и касательной и т.к. они параллельны, и проходит через середину АВ. Значит, эта прямая ОС является высотой для треугольников АСВ и АОВ. Точка С, лежащая на перпендикуляре СО, проведенная к отрезку АВ через его середину, равноудалена от концов этого отрезка, значит и АС=СВ, т.е треугольник АСВ - равнобедренный.

Answer 2

Чтобы доказать, что концы хорды и точка касания образуют равнобедренный треугольник, давайте взглянем на геометрические свойства окружности и касательной.

Окружность и ее касательная

Представим себе окружность с центром O и радиусом r. Пусть AB будет касательной к окружности, а M - точка касания (см. рисунок).

          O
         / \
        /   \
       /     \
      /       \
     /         \
    A-----------B
          |
          M

Хорда, параллельная касательной

Теперь предположим, что имеется хорда CD, которая проведена параллельно касательной AB (см. рисунок).

          O
         / \
        /   \
       /     \
      /       \
     C---------D
          |
          M

Доказательство

Теперь мы должны доказать, что треугольник CMD является равнобедренным.

- Чтобы начать, заметим, что CM и MD - это радиусы окружности, так как они проведены из центра O к точкам C и D соответственно. Значит, CM = MD = r.

- Также мы знаем, что AM - это касательная, а CM - это радиус. Поэтому угол CAM является прямым углом, так как касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.

- Поскольку угол CAM является прямым углом, то угол CMD тоже является прямым углом. Это происходит потому, что параллельные линии (CD и AB) пересекаются с прямым углом (угол CAM), образуя прямые углы (угол CMD).

- Теперь, поскольку CMD имеет два прямых угла и CM = MD, мы можем заключить, что треугольник CMD - это равнобедренный треугольник. Оба боковых отрезка (CM и MD) равны, а основание (CD) является хордой, параллельной касательной.

Вывод

Таким образом, мы доказали, что концы хорды и точка касания образуют равнобедренный треугольник.