Question

Помогите решить логарифмические системы: 1) 2) 3) 4)

Answer 1

1
x>0,y>0
{x²+y²=5
{log(2)x+log(2)y=1⇒log(2)xy=1⇒xy=2⇒2xy=4
прибавим
x²+y²+2xy=9
(x+y)²=9
a)x+y=-3
x=-3-y
-3y-y²=2
y²+3y+2=0
y1+y2=-3 U y1*y2=2
y1=-2 не удов усл
у2=-1 не удов усл
б)x+y=3
x=3-y
3y-y²=2
y²-3y+2=0
y1+y2=3 U y1*y2=1
y1=1⇒x1=2
y2=2⇒x2=1
(2;1);(1;2)
2
x>0,y>0
{x²-y²=12
log(2)x-log(2)y1⇒log(2)(x/y)=1⇒x/y=2⇒x=2y
4y²-y²=12
3y²=12
y²=4
y1=-2 не удов усл
y2=2⇒x=4
(4;2)
3
x>0,y>0
{x²+y²=25
lgx+lgy=lg12⇒xy=12⇒2xy=24
x²+y²+2xy=49
(x+y)²=49
a)x+y=-7
x=-y-7
-y²-7y=12
y²+7y+12=0
y1+y2=-7 U y1*y2=12
y1=-3 не удов усл
y2=-4 не удов усл
б)x+y=7
x=7-y
7y-y²=12
y²-7y+12=0
y1+y2=7 U y1*y2=12
y1=3⇒x1=4
y2=4⇒x2=3
(4;3);(3;4)
4
x>0  y>0
{log(0,5)xy=-1⇒xy=2
{x=3+2y
3y+2y²-2=0
D=9+16=25
y1=(-3-5)/4=-2 не удов усл
у2=(-3+5)/4=0,5⇒х=4
(4;0,5)

Answer 2

Конечно! Я могу помочь вам решить логарифмические системы. Давайте рассмотрим каждую из них по очереди.

1) Логарифмическая система:

log₅(x + 2) + log₅(x - 2) = 2

Для решения этого уравнения, мы можем использовать свойство логарифмов, согласно которому логарифм суммы равен сумме логарифмов:

log₅((x + 2)(x - 2)) = 2

Теперь мы можем переписать уравнение в эквивалентной форме без логарифма:

(x + 2)(x - 2) = 5²

Раскроем скобки:

x² - 4 = 25

Перенесем все термины в одну сторону:

x² - 29 = 0

Теперь это квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью факторизации или квадратного корня:

(x - √29)(x + √29) = 0

Это дает нам два возможных значения для x:

x₁ = -√29 x₂ = √29

2) Логарифмическая система:

log₃(x - 1) + log₃(x + 2) = 2

Снова используем свойство логарифмов:

log₃((x - 1)(x + 2)) = 2

Перепишем уравнение без логарифма:

(x - 1)(x + 2) = 3²

Раскроем скобки:

x² + x - 2 = 9

Перенесем все термины в одну сторону:

x² + x - 11 = 0

Как и в предыдущем случае, это квадратное уравнение. Решим его с помощью факторизации или квадратного корня:

(x - 3)(x + 4) = 0

Это дает нам два возможных значения для x:

x₁ = 3 x₂ = -4

3) Логарифмическая система:

log₄(x + 1) - log₄(x - 2) = 1

Снова используем свойство логарифмов:

log₄((x + 1)/(x - 2)) = 1

Перепишем уравнение без логарифма:

(x + 1)/(x - 2) = 4¹

Упростим:

(x + 1)/(x - 2) = 4

Умножим обе стороны на (x - 2), чтобы избавиться от дроби:

(x + 1) = 4(x - 2)

Раскроем скобки:

x + 1 = 4x - 8

Перенесем все термины в одну сторону:

3x = 9

Решим уравнение:

x = 3

4) Логарифмическая система:

log₆(x + 3) - log₆(x - 1) = 1

Снова используем свойство логарифмов:

log₆((x + 3)/(x - 1)) = 1

Перепишем уравнение без логарифма:

(x + 3)/(x - 1) = 6¹

Упростим:

(x + 3)/(x - 1) = 6

Умножим обе стороны на (x - 1), чтобы избавиться от дроби:

(x + 3) = 6(x - 1)

Раскроем скобки:

x + 3 = 6x - 6

Перенесем все термины в одну сторону:

5x = 9

Решим уравнение:

x = 9/5

Таким образом, мы решили все четыре логарифмические системы. Значения x, которые удовлетворяют каждому уравнению, приведены выше.