Question

Найти промежутки монотонности функции y=2x 3 +7,5x2-9x

Answer 1

Y`=6x²+15x-9=3(2x²+5x-3)=0
D=25+24=49
x1=(-5-7)/4=-3
x2=(-5+7)/4=0,5
             +                  _                      +
----------------(-3)-----------------(0,5)-----------------
возр                  убыв                  возр

Answer 2

Функция y = 2x + 3 + 7.5x^2 - 9x является квадратичной функцией, так как имеет степень 2 в члене с x^2. Чтобы найти промежутки монотонности этой функции, нам нужно проанализировать ее производную.

Нахождение производной функции

Для начала, найдем производную функции y = 2x + 3 + 7.5x^2 - 9x. Для этого возьмем производную каждого члена функции по отдельности. Производная линейной функции 2x + 3 равна 2, а производная квадратичной функции 7.5x^2 - 9x равна 15x - 9.

Теперь, сложим производные обоих частей функции, чтобы получить производную функции y = 2x + 3 + 7.5x^2 - 9x: dy/dx = 2 + 15x - 9

Нахождение точек экстремума

Точки экстремума функции соответствуют значениям x, при которых производная равна нулю или не существует. Чтобы найти эти точки, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

2 + 15x - 9 = 0

15x - 7 = 0 15x = 7 x = 7/15

Таким образом, точка экстремума функции соответствует x = 7/15.

Нахождение интервалов монотонности

Чтобы определить интервалы монотонности функции, мы можем использовать полученную производную. Мы знаем, что если производная положительна на определенном интервале, то функция возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна, то функция убывает.

Для определения интервалов монотонности, мы можем взять произвольную точку из каждого интервала и подставить ее в производную. Затем мы можем анализировать знак производной в каждом интервале.

- Если производная положительна, то функция возрастает на этом интервале. - Если производная отрицательна, то функция убывает на этом интервале.

Мы уже определили, что точка экстремума функции находится при x = 7/15.

Анализ интервалов монотонности

Рассмотрим интервалы между отрицательной и положительной бесконечностью, а также интервалы вблизи точки экстремума x = 7/15.

1. При x < 7/15, производная dy/dx < 0. Это значит, что функция убывает на этом интервале. 2. В точке x = 7/15, производная dy/dx равна нулю. Это является точкой экстремума функции. 3. При x > 7/15, производная dy/dx > 0. Это значит, что функция возрастает на этом интервале.

Вывод

Таким образом, функция y = 2x + 3 + 7.5x^2 - 9x убывает на интервале x < 7/15 и возрастает на интервале x > 7/15. В точке x = 7/15 функция имеет экстремум.