Question

Разложите на множители многочлен - 32x^5 - 1

Answer 1

32x^5 - 1 = 2^5x^5-1^5 = (2x)^5 - 1^5 = (2x-1)(16x^4+8x^3+4x^2+2x+1)

Answer 2

Чтобы разложить многочлен на множители, нам нужно использовать различные методы факторизации. Давайте разложим многочлен -32x^5 - 1 на множители.

Разложение на множители по формуле разности кубов

Мы можем использовать формулу разности кубов для разложения -32x^5 - 1. Формула разности кубов имеет вид:

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

В данном случае, a = -2x^2 и b = 1. Подставим значения в формулу:

-32x^5 - 1 = (-2x^2 - 1)((-2x^2)^2 + (-2x^2)(1) + (1)^2)

Выполним вычисления:

-32x^5 - 1 = (-2x^2 - 1)(4x^4 + 2x^2 + 1)

Разложение многочлена второй степени

Далее, мы можем разложить полученный многочлен второй степени (4x^4 + 2x^2 + 1) на множители. Для этого мы можем использовать метод факторизации многочлена второй степени.

Факторизация многочлена второй степени

Мы хотим разложить 4x^4 + 2x^2 + 1 на множители. Для этого, мы можем использовать метод факторизации многочлена второй степени, который имеет вид:

ax^2 + bx + c = (mx + n)(px + q)

В данном случае, a = 4, b = 2, и c = 1. Мы должны найти значения m, n, p и q.

Выполним вычисления:

1. Перемножим a и c: ac = 4 * 1 = 4.

2. Найдем два числа, которые при перемножении дают 4 и при сложении дают b (2). В данном случае, эти числа 1 и 4. Таким образом, m = 1, n = 1, p = 4 и q = 1.

Подставим значения в формулу:

4x^4 + 2x^2 + 1 = (x + 1)(4x + 1)

Общий результат

Итак, мы разложили исходный многочлен -32x^5 - 1 на множители:

-32x^5 - 1 = (-2x^2 - 1)(4x^4 + 2x^2 + 1) = (-2x^2 - 1)(x + 1)(4x + 1)

Таким образом, многочлен -32x^5 - 1 разложен на множители (-2x^2 - 1), (x + 1) и (4x + 1).