Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми:у=0, х=1, х=3. и параболой проходящей через точки:А(2, 1) В(1,3) С(3,3)Заранее благодарю)

Answer 1

Раз даны три узла,то можно построить по ним многочлен второй степени.

Я предлагаю использовать построение интерполяционного многочлена в форме Лагранжа:

$f(x)=f(x_1)*\frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}+f(x_2)*\frac{(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}+f(x_3)*\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}=1*\frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}+3*\frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}+3*\frac{(x-2)(x-1)}{(3-2)(3-1)}=-(x-1)(x-3)+\frac{3}{2}(x-2)(x-3)+\frac{3}{2}(x-2)(x-1)=2x^2-8x+9$

Собственно уравнение параболы мы нашли

$S=\int\limits^3_1 {2x^2-8x+9} \, dx=(\frac{2}{3}x^3-4x^2+9x)|^3_1=(18-36+27)-(\frac{2}{3}-4+9)=3\frac{1}{3}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной прямыми и параболой, необходимо разделить эту фигуру на несколько частей и вычислить площадь каждой части отдельно.

1. Определение уравнения параболы

Для нахождения уравнения параболы, проходящей через точки A(2, 1), B(1, 3) и C(3, 3), мы можем использовать метод подстановки точек в общее уравнение параболы.

Общее уравнение параболы имеет вид: y = ax^2 + bx + c

Подставим координаты точки A(2, 1) в уравнение: 1 = a(2)^2 + b(2) + c (1)

Подставим координаты точки B(1, 3) в уравнение: 3 = a(1)^2 + b(1) + c (2)

Подставим координаты точки C(3, 3) в уравнение: 3 = a(3)^2 + b(3) + c (3)

Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными (a, b, c). Мы можем решить эту систему, чтобы найти значения a, b и c.

2. Решение системы уравнений

Выразим c из уравнения (1): c = 1 - 4a - 2b

Подставим выражение для c в уравнение (2): 3 = a + b + (1 - 4a - 2b) 3 = -3a - b + 1 (4)

Подставим выражение для c в уравнение (3): 3 = 9a + 3b + (1 - 4a - 2b) 3 = 5a + b + 1 (5)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (a, b). Решим ее, чтобы найти значения a и b.

Вычтем уравнение (5) из уравнения (4): 0 = -8a - 2 8a = -2 a = -2/8 a = -1/4

Подставим значение a = -1/4 в уравнение (4): 3 = -3(-1/4) - b + 1 3 = 3/4 - b + 1 3 - 1 - 3/4 = -b b = 1/4

Теперь у нас есть значения a = -1/4 и b = 1/4. Мы можем использовать их, чтобы найти значение c.

Подставим значения a = -1/4 и b = 1/4 в выражение для c: c = 1 - 4(-1/4) - 2(1/4) c = 1 + 1 + (-1/2) c = 3/2

Таким образом, уравнение параболы, проходящей через точки A(2, 1), B(1, 3) и C(3, 3), имеет вид: y = (-1/4)x^2 + (1/4)x + 3/2

3. Вычисление площади фигуры

Теперь, когда у нас есть уравнение параболы, мы можем вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми y = 0, x = 1 и x = 3, а также параболой.

Сначала рассмотрим площадь фигуры, ограниченной прямыми y = 0, x = 1 и x = 3.

Часть 1: Эта часть фигуры находится между прямыми y = 0 и параболой. Для вычисления площади этой части, мы должны найти точки пересечения прямых и параболы.

Найдем точки пересечения параболы и прямой y = 0: 0 = (-1/4)x^2 + (1/4)x + 3/2 (-1/4)x^2 + (1/4)x + 3/2 = 0

Решим это уравнение, чтобы найти значения x, где парабола пересекает прямую y = 0.

x = -4/(-4) = 1

Таким образом, парабола пересекает прямую y = 0 в точке (1, 0).

Теперь рассмотрим площадь фигуры между прямыми x = 1 и x = 3.

Часть 2: Эта часть фигуры находится между прямыми x = 1 и x = 3, и выше параболы. Для вычисления площади этой части, мы должны вычислить интеграл от параболы между x = 1 и x = 3.

Вычислим этот интеграл:

∫[1, 3] ((-1/4)x^2 + (1/4)x + 3/2) dx

= [-1/12 * x^3 + 1/8 * x^2 + 3/2 * x] [1, 3]

= (-1/12 * 3^3 + 1/8 * 3^2 + 3/2 * 3) - (-1/12 * 1^3 + 1/8 * 1^2 + 3/2 * 1)

= (-27/12 + 9/8 + 9/2) - (-1/12 + 1/8 + 3/2)

= (-9/4 + 9/8 + 18/4) - (-1/12 + 3/24 + 36/24)

= (-9/4 + 9/8 + 18/4) - (12/24 + 6/24 + 36/24)

= (-9/4 + 9/8 + 18/4) - (54/24)

= (-18/8 + 9/8 + 36/8) - (54/24)

= 27/8 - 54/24

= 27/8 - 9/8

= 18/8

= 9/4

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной прямыми y = 0, x = 1, x = 3 и параболой, равна 9/4 или 2.25.

Итак, площадь фигуры, ограниченной прямыми у = 0, х = 1, х = 3 и параболой, проходящей через точки A(2, 1), B(1, 3) и C(3, 3), равна 2.25.