Question

Решите неравенство x^3-3×x^2-x+3 меньше или равно 0

Answer 1

$x^3-3x^2-x+3 \leq 0 \\ x^2(x-3)-(x-3) \leq 0 \\ (x-3)(x^2-1) \leq 0 \\ (x-3)(x-1)(x+1) \leq 0 \\ \\ ---[-1]+++[1]---[3]+++\ \textgreater \ x \\ \\ OTBET: \ x\in(- \infty; -1] \ U \ [1;3]$

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы сначала должны найти корни уравнения, которому соответствует левая часть неравенства, то есть x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0. Затем мы можем использовать эти корни для построения числовой прямой и определения интервалов, на которых неравенство будет выполняться.

Для начала, давайте решим уравнение x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0. Чтобы найти корни этого уравнения, мы можем использовать различные методы, такие как метод Больцано или графический метод. Однако, для данного уравнения нет простых аналитических решений, поэтому мы воспользуемся численным методом.

Мы можем воспользоваться методом Ньютона или методом половинного деления для приближенного нахождения корней. Воспользуемся методом половинного деления:

1. Выберем два значения x, например x = -1 и x = 2. 2. Вычислим значение функции f(x) = x^3 - 3x^2 - x + 3 для каждого из выбранных значений x. 3. Если значения функции f(x) имеют разные знаки для двух выбранных значений x, то между ними находится корень уравнения. 4. Продолжим делить отрезок между выбранными значениями x пополам и проверять знаки значений функции f(x), пока не достигнем заданной точности.

Продолжим вычисления:

Для x = -1: f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - (-1) + 3 = -1 + 3 + 1 + 3 = 6

Для x = 2: f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 - (2) + 3 = 8 - 12 - 2 + 3 = -3

Значения функции f(x) имеют разные знаки для x = -1 и x = 2. Значит, между этими значениями находится корень уравнения.

Решение неравенства:

Теперь, когда мы нашли корни уравнения, мы можем использовать их для определения интервалов, на которых неравенство будет выполняться.

Сначала рассмотрим интервал между корнем x = -1 и корнем x = 2. На этом интервале значения функции f(x) будут положительными, так как f(-1) = 6 > 0 и f(2) = -3 < 0. Значит, неравенство x^3 - 3x^2 - x + 3 <= 0 не выполняется на этом интервале.

Теперь рассмотрим интервалы, лежащие вне корней уравнения. На этих интервалах значения функции f(x) также будут положительными или отрицательными, и мы можем определить их знак, используя любую точку внутри каждого интервала.

Например, возьмем точку x = -5 и подставим ее в функцию f(x):

f(-5) = (-5)^3 - 3(-5)^2 - (-5) + 3 = -125 - 75 + 5 + 3 = -192

Значение функции f(x) для x = -5 отрицательно. Это означает, что на интервале x < -1 неравенство x^3 - 3x^2 - x + 3 <= 0 выполняется.

Теперь рассмотрим точку x = 3 и подставим ее в функцию f(x):

f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - (3) + 3 = 27 - 27 - 3 + 3 = 0

Значение функции f(x) для x = 3 равно нулю. Это означает, что на интервале x > 2 неравенство x^3 - 3x^2 - x + 3 <= 0 также выполняется.

Итоговое решение:

Итак, неравенство x^3 - 3x^2 - x + 3 <= 0 выполняется на интервалах x < -1 и x > 2.