Question

Sinxcos6x-cosxsin6x=√2/2

Answer 1

                                         $\sin x\cos 6x-\cos x\sin6x= \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \\ \sin(x-6x)=\frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \sin5x=-\frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \\ 5x=(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi}{4}+ \pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ \boxed{x=(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi}{20}+ \frac{\pi k}{5},k \in \mathbb{Z} }$

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и преобразования. Давайте рассмотрим каждую часть отдельно и упростим уравнение.

Начнем с левой стороны уравнения: sin(x)cos(6x) - cos(x)sin(6x)

Мы можем использовать тригонометрическое тождество для синуса разности двух углов, чтобы преобразовать данную часть: sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

Применяя это тождество к нашему уравнению, получим: sin(x - 6x) = sin(x)cos(6x) - cos(x)sin(6x)

Теперь упростим правую сторону уравнения: sin(x - 6x) = sin(x)cos(6x) - cos(x)sin(6x) sin(-5x) = sin(x)cos(6x) - cos(x)sin(6x)

Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество для синуса суммы двух углов, чтобы преобразовать данную часть: sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Применяя это тождество к нашему уравнению, получим: sin(-5x) = sin(x)cos(6x) - cos(x)sin(6x) sin(-5x) = sin(x + 6x)

Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество для синуса отрицательного угла, чтобы преобразовать левую сторону уравнения: sin(-a) = -sin(a)

Применяя это тождество к нашему уравнению, получим: -sin(5x) = sin(7x)

Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество для синуса отрицательного угла, чтобы преобразовать правую сторону уравнения: sin(-a) = -sin(a)

Применяя это тождество к нашему уравнению, получим: -sin(5x) = -sin(-7x)

Теперь у нас есть уравнение: -sin(5x) = -sin(-7x)

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать тождество для синуса отрицательного угла, которое гласит, что синус отрицательного угла равен отрицательному синусу положительного угла: sin(-a) = -sin(a)

Применяя это тождество к нашему уравнению, получим: sin(5x) = sin(7x)

Теперь мы можем рассмотреть два возможных случая:

Случай 1: Если sin(5x) = sin(7x), то углы 5x и 7x должны быть равными, но с разными знаками: 5x = 7x + 2πn (где n - целое число)

Теперь мы можем решить это уравнение относительно x: 5x - 7x = 2πn -2x = 2πn x = -πn, где n - целое число

Случай 2: Если sin(5x) = -sin(7x), то углы 5x и 7x должны быть равными и иметь одинаковые знаки: 5x = 7x + π + 2πn (где n - целое число)

Теперь мы можем решить это уравнение относительно x: 5x - 7x = π + 2πn -2x = π + 2πn x = -(π/2 + πn), где n - целое число

Таким образом, уравнение sin(x)cos(6x) - cos(x)sin(6x) = √2/2 имеет два типа решений: 1. x = -πn, где n - целое число 2. x = -(π/2 + πn), где n - целое число