Question

6.Докажите, что при любом натуральном n значение выражения 10ⁿ+19ⁿ-2 кратно 9.

Answer 1

По теореме Эйлера:
 1) при делении 10 на 9  ---> остаток 1, 
  заменяем 10 на остаток=1, имеем 1^n
2)  при делении 19 на 9 имеем остаток 1, заменяем 19 на 1,
     имеем 1^n
3)  при делении 2 на 9 ----> остаток 2

    остаток =
1^n+1^n-2=1+1-2=0
 вывод:       остаток =0, значит данное выражение кратно 9.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, мы можем воспользоваться тем, что если число делится на 9, то сумма его цифр также делится на 9.

Рассмотрим выражение 10ⁿ + 19ⁿ - 2. Поскольку мы знаем, что 10ⁿ всегда оканчивается на 0, то это число делится на 9, так как сумма его цифр равна 1, которая делится на 9. Также рассмотрим 19ⁿ. Это число также можно представить в виде (20 - 1)ⁿ, и при разложении этого выражения по биному мы получим, что все его слагаемые, кроме последнего (-1)ⁿ, делятся на 9. И наконец, у нас есть -2, которое также дел