Question

Помогите пожалуйста решить определенные интегралы: 1) интеграл сверху е (экспонента) , снизу 1 , dx/3x. 2) интеграл сверху 1 , снизу 0, в скобочках (1/3) в степени 1-x, умножить на dx. 3) интеграл сверху 1/3 , снизу 0, в скобочках ( е (экспонента) в степени 3x + e (экспорента) в степени -3x ) скобка закрылась , умножить на dx. Буду очень признательна)))))

Answer 1

$1)\quad \int\limits_1^{e} \, \frac{dx}{3x} =\frac{1}{3}\cdot ln|x||_1^{e}=\frac{1}{3}(lne-ln1)=\frac{1}{3}(1-0)=\frac{1}{3}\\\\2)\quad \int\limits^{1}_0 (\frac{1}{3})^{1-x} \, dx =-\frac{(\frac{1}{3})^{1-x}}{ln\frac{1}{3}}|_0^1=}\frac{1}{ln3}\cdot \left (\frac{1}{3}\right )^{1-x}|_0^1=\\\\=\frac{1}{3}\cdot \left ((\frac{1}{3})^0-\frac{1}{3}\right )=\frac{1}{3}}\cdot (1-\frac{1}{3})=\frac{2}{9}$

$3)\quad \int\limits_0^\frac{1}{3}(e^{3x}+e^{-3x})dx=\left (\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{1}{3}e^{-3x}\right )|_0^{\frac{1}{3}}=$

$=\frac{1}{3}(e^{3x}-e^{-3x})|_0^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}(e-e^{-1}-1+1)=\frac{1}{3}(e-\frac{1}{e})=\frac{e^2-1}{3e}$

Answer 2

Определенные интегралы

1) Для решения первого интеграла, интеграла от е (экспонента) сверху 1, снизу 1/3x, dx/3x, можно использовать замену переменной. Пусть u = 1/3x, тогда dx = 3du. Подставим это в интеграл:

∫(e^(1/3x))/(3x) dx

Заменяем переменную:

∫(e^u)/u du

Этот интеграл не имеет элементарного решения в виде простых функций. Он называется экспоненциальным интегралом и обозначается через Ei(u). Таким образом, ответ на первый интеграл будет:

∫(e^(1/3x))/(3x) dx = Ei(1/3x) + C

2) Второй интеграл, интеграл от (1/3)^(1-x) сверху 1, снизу 0, умножить на dx, можно решить с помощью простых алгебраических преобразований. Раскроем скобки и упростим выражение:

∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/3)^(1-x) dx

= ∫(1/