Question

найдите наименьшее и наибольшее значения функции y=1/3*x^3 - 3/2*x^2 + 1 на отрезке [-1; 1].решите плиз дам 100 баллов.и еще Исследуйте функцию y=x^2//x - 2. (//- дробь) на монотонность и экстремумы.

Answer 1

1)находим производную: f`(y)=x^2-3x

приравниваем к нулю и решаем: x(x-3)=0

                                                    x=0 или x=3

подставляем значения -1,0,1,3 в условие

f(-1)=-1/3-3/2+1=-1/3-1/2=-5/6

f(0)=1

f(1)=1/3-3/2+1=1/3-1/2=-1/6

f(3)=1/3*27-3/2*9+1= 9-13.5+1=-3.5

наименьшее значение: -3.5

наибольшее: 1

 

2)снова находим производную: f`(y)=2x

   приравниваем к 0: 2х=0

                                 х=0

   убывает (от -бесконечности до 0)

   возрастает (от 0 до бесконечности)

 

   Критические точки функции, в которых она меняет возрастание на убывание или убывание на возрастание, называются точками экстремума.

значит точка экстремума=0

Answer 2

Для начала найдем наименьшее и наибольшее значения функции y=1/3*x^3 - 3/2*x^2 + 1 на отрезке [-1; 1].

Для нахождения экстремумов функции найдем ее производную: y' = x^2 - 3*x

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: x^2 - 3*x = 0 x*(x - 3) = 0

Отсюда получаем две точки экстремума: x=0 и x=3.

Теперь найдем значения функции в этих точках: y(0) = 1 y(1) = -7/2 y(3) = 10

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-1; 1] равно -7/2, достигается при x=1, а наибольшее значение равно 10, достигается при x=3.

Теперь перейдем к исследованию функции y=x^2/(x-2) на монотонность и экстремумы.

Для начала найдем область определения функции. Функция не определена при x=2, поэтому область определения функции - это множество всех действительных чисел, кроме x=2.

Теперь найдем производную функции: y' = (2x*(x-2) - x^2) / (x-2)^2 y' = (2x^2 - 4x - x^2) / (x-2)^2 y' = (x^2 - 4x) / (x-2)^2

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю: x^2 - 4x = 0 x*(x - 4) = 0

Отсюда получаем две точки экстремума: x=0 и x=4.

Теперь проанализируем знак производной в окрестностях найденных точек. При x<0 производная отрицательна, при 04 производная положительна.

Исходя из этого, можно сделать вывод, что функция убывает на промежутке (-бесконечность; 0), возрастает на промежутке (0; 2), убывает на промежутке (2; 4) и возрастает на промежутке (4; +бесконечность).

Таким образом, функция имеет локальный максимум в точке x=0 и локальный минимум в точке x=4.