Question

Решите уравнения: а)2x+8x^2=0 б)x^2-x=2x-5 в)x^4-3x^2-4=0 Разложите если возможно, на множители многочлена x^2-2x-15

Answer 1

$\mathsf{2x+8x^{2}=0}\\ \mathsf{x(8x+2)=0}\\ \mathsf{x=0}\\ \mathsf{8x+2=0 \longrightarrow 8x=-2 \longrightarrow x=- \frac{1}{4}}$

Ответ: 0; $- \frac{1}{4}$.

$\mathsf{x^{2}-x=2x-5}\\ \mathsf{x^{2}-3x+5=0}\\ \mathsf{D=9-4\times1\times5<0} \longrightarrow \varnothing$

Ответ: нет корней.

$\mathsf{x^{4}-3x^{2}-4=0}\\ \mathsf{x^{2}=t}\\ \mathsf{t^{2}-3t-4=0}\\ \mathsf{t_{1}=4}\\ \mathsf{t_{2}=-1}\\ \mathsf{x^{2}=4 \longrightarrow x=\pm2}\\ \mathsf{x^{2}=-1 \longrightarrow \varnothing}$

Ответ: $\pm 2$.

$\mathsf{ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})}\\ \\ \mathsf{x^{2}+px+q=0}\\ \mathsf{x_{1}+x_{2}=-p}\\ \mathsf{x_{1}x_{2}=q}\\ \\ \mathsf{x^{2}-2x-15}=0\\ \mathsf{x_{1}+x_{2}=2}\\ \mathsf{x_{1}x_{2}=-15}\\ \mathsf{x_{1}=5}\\ \mathsf{x_{2}=-3}\\ \\ \mathsf{x^{2}-2x-15=(x-5)(x+3)}$

Answer 2

$a) 2x+8x^2=0;\\x(2+8x)=0;\\ \left [ {{x_1=0;} \atop {2+8x=0;}} \right. \\\left [ {{x_1=0;} \atop {8x=-2;}} \right. \\\left [ {{x_1=0;} \atop {x_2=- \frac{1}{4}; }} \right.$
Ответ: $-\frac{1}{4}; 0.$
$b)x^2-x=2x-5;\\x^2-x-2x+5=0;\\x^2-3x+5=0;\\D=9-4*1*5=9-20<0 => x \in \emptyset.$
Ответ: $x \in \emptyset.$
$x^4-3x^2-4=0;\\(x^2)^2-3x^2-4=0;\\ t=x^2;\\t^2-3t-4=0;\\D=9+16=25;\\t_1= \frac{3+5}{2}=4;\\t_2= \frac{3-5}{2}=-1;\\ \left [ {{x^2=4;} \atop {x^2=-1; }} \right.\\ \left \{ {{x_1=2;x_2=-2;} \atop {x \in \emptyset;}} \right.$
Ответ: -2;2.

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$
$x^2-2x-15=0; \\D=4+60=64;\\x_1= \frac{2+8}{2}=5;\\x_2= \frac{2-8}{2}=-3;\\ x^2-2x-15=1*(x-5)(x-(-3))=(x-5)(x+3);\\ x^2-2x-15=(x-5)(x-3).$

Answer 3

Решение уравнений:

а) 2x + 8x^2 = 0

Для решения этого уравнения, мы можем сначала вынести общий множитель, который является x:

x(2 + 8x) = 0

Теперь у нас есть два множителя, которые равны 0. Это означает, что один из множителей равен 0 или оба равны 0:

x = 0 или 2 + 8x = 0

Для второго уравнения мы можем выразить x:

8x = -2 x = -2/8 x = -1/4

Таким образом, решениями уравнения 2x + 8x^2 = 0 являются x = 0 и x = -1/4.

б) x^2 - x = 2x - 5

Для решения этого уравнения, сначала приведем его к стандартному виду:

x^2 - x - 2x + 5 = 0

x^2 - 3x + 5 = 0

Теперь мы можем попытаться решить это уравнение с помощью факторизации или используя квадратное уравнение. Однако, это уравнение не факторизуется простыми множителями, поэтому воспользуемся формулой дискриминанта для решения квадратного уравнения.

Для уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, формула дискриминанта имеет вид:

D = b^2 - 4ac

В нашем случае, a = 1, b = -3 и c = 5. Вычислим значение дискриминанта:

D = (-3)^2 - 4(1)(5) D = 9 - 20 D = -11

Так как дискриминант отрицательный, уравнение не имеет рациональных корней и решений в области действительных чисел. Ответ: нет решений в области действительных чисел.

в) x^4 - 3x^2 - 4 = 0

Для решения этого уравнения, мы можем ввести замену, чтобы сделать его более удобным для решения. Пусть z = x^2. Тогда уравнение примет вид:

z^2 - 3z - 4 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью факторизации или формулы квадратного корня:

(z - 4)(z + 1) = 0

Теперь мы можем решить каждый множитель равенства отдельно:

z - 4 = 0 или z + 1 = 0

z = 4 или z = -1

Теперь, зная, что z = x^2, мы можем решить уравнение для x:

x^2 = 4 или x^2 = -1

Для x^2 = 4, у нас есть два возможных значения для x:

x = 2 или x = -2

Для x^2 = -1, у нас нет решений в области действительных чисел, так как это уравнение имеет квадрат отрицательного числа.

Таким образом, решениями уравнения x^4 - 3x^2 - 4 = 0 являются x = 2 и x = -2.

Разложение многочлена на множители:

Для многочлена x^2 - 2x - 15, мы можем попытаться разложить его на множители, если это возможно.

Нам нужно найти два числа, которые умножаются в результате -15 и при этом сумма этих чисел равна -2 (коэффициент при x).

Поскольку -5 * 3 = -15 и -5 + 3 = -2, мы можем использовать эти числа для разложения:

x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)

Таким образом, многочлен x^2 - 2x - 15 можно разложить на множители как (x - 5)(x + 3).