Question

Произведение двух положительных чисел равно 484.Найдите эти числа,если известно,что их сумма принимает наибольшее значение.

Answer 1

Пусть x,y - положительные числа, т.е. x>0 и y>0. Произведение этих чисел : xy и равно 484

xy = 484  откуда  y = 484/x

x + y = x + 484/x $\to~~\max$

Нужно найти наибольшее значение функции:

$S(x)=x+\dfrac{484}{x}$

Вычислим производную функции:

$S'(x)=\bigg(x+\dfrac{484}{x}\bigg)'=1-\dfrac{484}{x^2}\\ \\ \\ S'(x)=0;~~~~ 1-\dfrac{484}{x^2}=0~~~~\Leftrightarrow~~~ x^2=484~~~\Leftrightarrow~~~ x=\pm 22$

(0)____+_____(22)____-_____

Производная функции в точке x=22 меняет знак с (+) на (-), значит x=22 - локальный максимум

$y=\dfrac{484}{x}=\dfrac{484}{22}=22$

Ответ: 22 и 22.

Answer 2

Давайте решим эту задачу. Мы знаем, что произведение двух положительных чисел равно 484. Чтобы найти эти числа, мы должны найти такие два числа, сумма которых принимает наибольшее значение.

Для начала, разложим число 484 на простые множители: 2 * 2 * 11 * 11. Мы видим, что это произведение содержит только простые числа. Теперь мы знаем, что искомые числа должны быть положительными, поэтому они также должны быть положительными множителями числа 484.

Теперь давайте рассмотрим все возможные комбинации этих множителей, чтобы найти те, сумма которых будет наибольшей:

1. 2 * 2 * 11 * 11: сумма этих чисел равна 26. 2. 4 * 11 * 11 * 1: сумма этих чисел также равна 26. 3. 22 * 22 * 1 * 1: сумма этих чисел равна 44. 4. 484 * 1 * 1 * 1: сумма этих чисел равна 484.

Мы видим, что сумма наибольшая, когда мы берем два наибольших множителя числа 484. Таким образом, искомыми числами являются 22 и 22, так как их сумма равна 44.