Question

11 клас, средняя сложность и 100 баллов! В некоторой точке графика функции f(x) = корень(x) касательная наклонена к оси абсцис под углом 45 градусов. Вычислите площадь фигуры, ограниченной этой касательной и прямыми y=0 и x=0.25.

Answer 1

В некоторой точке графика функции   f(x) = √x  касательная наклонена к оси абсцисc под углом 45 градусов. Вычислите площадь фигуры, ограниченной этой касательной и прямыми y=0 и x=0.25.
-------------------------------------------------------------------------------------
решение  в прикрепленном файле 
---.---.---.---.---.---.---.---.---.---.---.--.---.

ответ : S =1/8 кв.ед.                * * * 0,125 * * *

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно найти точку касания касательной и функции f(x)=√x. Так как касательная наклонена к оси абсцисс под углом 45 градусов, то ее наклонный коэффициент равен 1. Таким образом, мы можем записать уравнение касательной в виде y=x+b, где b - это точка касания. Теперь найдем производную функции f(x)=√x, которая равна f'(x)=1/(2√x). Подставим значение x=0.25 в производную и получим f'(0.25)=1/(2√0.25)=1/0.5=2. Это значит, что наклон касательной равен 2. Теперь мы можем записать уравнение касательной в виде y=2x+b. Подставив координаты точки (0.25, √0.25) в уравнение касательной, мы получим √0.25=2*0.25+b, откуда b=√0.25-0.5=0.5-0.5=0. Таким образом, уравнение касательной имеет вид y=2x.

Теперь мы можем найти точки пересечения касательной с осями абсцисс и ординат. Для этого подставим y=0 и найдем x, получим 0=2x, x=0. Таким образом, точка пересечения с осью ординат имеет координаты (0,0). Теперь подставим x=0 и найдем y, получим y=2*0=0. Таким образом, точка пересечения с осью абсцисс имеет координаты (0,0).

Теперь нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной этой касательной и прямыми y=0 и x=0.25. Это будет прямоугольный треугольник с катетами 0.25 и 0.5, поскольку точка пересечения с осями абсцисс и ординат имеет координаты (0,0) и (0.25,0.5). Площадь такого треугольника можно вычислить по формуле S=0.5*a*b, где a и b - катеты треугольника. Подставив значения a=0.25 и b=0.5, получим S=0.5*0.25*0.5=0.0625.

Итак, площадь фигуры, ограниченной этой касательной и прямыми y=0 и x=0.25, равна 0.0625 квадратных единиц.