Question

2. найти {Интеграл (3-1/cos²x)DX

Answer 1

$\int (3-\frac{1}{cos^2x})dx=3x-tgx+C\\\\\\\int dx=x+C,\\\\\int \frac{dx}{cos^2x}=tgx+C$

Answer 2

Для расчета данного интеграла, можно использовать метод замены переменной. Давайте рассмотрим пошаговое решение.

Шаг 1: Замена переменной

Для начала, давайте заменим переменную в интеграле. Пусть u = cos(x). Тогда, дифференциал переменной x будет равен dx = -du/sin(x).

Шаг 2: Замена границ интегрирования

Так как мы заменили переменную x на u, нам также необходимо заменить границы интегрирования. Когда x = 0, u = cos(0) = 1, и когда x = π/2, u = cos(π/2) = 0.

Шаг 3: Подстановка в интеграл

После замены переменной и границ интегрирования, наш интеграл примет следующий вид:

∫ (3 - 1/cos²x) dx = ∫ (3 - 1/u²) (-du/sin(x))

Шаг 4: Упрощение выражения

Для упрощения интеграла, выразим sin(x) через u, используя тригонометрическую тождество sin²(x) + cos²(x) = 1. Получим sin(x) = sqrt(1 - u²).

∫ (3 - 1/u²) (-du/sin(x)) = ∫ (3 - 1/u²) (-du/sqrt(1 - u²))

Шаг 5: Расчет интеграла

Теперь мы можем проинтегрировать это выражение. Для этого, разложим дробь 1/u² на две отдельные дроби:

∫ (3 - 1/u²) (-du/sqrt(1 - u²)) = ∫ (3 * (-du/sqrt(1 - u²))) - ∫ (1/u² * (-du/sqrt(1 - u²)))

Первый интеграл - это интеграл от константы, который можно вычислить просто умножением на переменную:

= -3 * ∫ (du/sqrt(1 - u²)) + ∫ (du/u²)

Выразим первый интеграл через арксинус:

= -3 * arcsin(u) - ∫ (du/u²)

Интегрируем вторую дробь:

= -3 * arcsin(u) - (-1/u)

Шаг 6: Подстановка обратной замены

Теперь, чтобы получить окончательный результат, подставим обратную замену переменной u = cos(x):

= -3 * arcsin(cos(x)) + 1/cos(x)

Итак, окончательный ответ на интеграл ∫ (3 - 1/cos²x) dx равен:

-3 * arcsin(cos(x)) + 1/cos(x) + C,

где C - произвольная постоянная.