Question

Постройте график функции f(x) = 2 - √x^2+2x+1 (корень на всё выражение x^2+2x+1) Укажите: а) нули функции б) область определения функции в) область значения функции г) промежутки знакопостоянства функции

Answer 1

$f(x)=2-\sqrt{x^2+2x+1}=2-\sqrt{(x+1)^2}=2-|x+1|, \\ y_1=|x|, \\ y_2=-|x|, \\ Ox\downarrow2, Oy\rightarrow1. \\ \\ a) (-3;0), (1;0), (0;1); \\ b) D_y=R, \\ c) E_y=(-\infty;2); \\ d) y\ \textless \ 0 \ \ x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty), \\ y\ \textgreater \ 0 \ \ x\in(-3;1).$

Answer 2

а) Нули функции: Чтобы найти нули функции, мы должны найти значения x, для которых f(x) = 0. f(x) = 2 - √(x^2 + 2x + 1) 0 = 2 - √(x^2 + 2x + 1) √(x^2 + 2x + 1) = 2 x^2 + 2x + 1 = 4 x^2 + 2x - 3 = 0 (x+3)(x-1) = 0 x = -3, 1

б) Область определения функции: Функция f(x) определена для всех действительных чисел x, так как под знаком корня может быть любое неотрицательное число.

в) Область значений функции: Так как корень из любого числа неотрицательный, то значение функции f(x) всегда будет больше или равно 2. Поэтому область значений функции f(x) - это все действительные числа больше или равные 2.

г) Промежутки знакопостоянства функции: Чтобы определить промежутки знакопостоянства функции, мы можем построить график функции. На графике мы видим, что функция f(x) всегда положительна, так как она равна 2 минус неотрицательное число (корень). Таким образом, функция f(x) положительна для всех значений x.

График функции f(x) = 2 - √(x^2 + 2x + 1) будет выглядеть как график функции y = 2 - √(x+1)^2, то есть это график сдвинутой вниз на 2 единицы параболы y = -√x^2.

[Вставить график]