Question

Докажите, что для любого натурального верно равенство:(n+1)!-n! = n!n

Answer 1

1!=1
2!=1*2
3!=1*2*3
4!=1*2*3*4
......................
(n-1)!=1*2*3*...*(n-1)
n!=1*2*3*...*(n-1)*n
(n+1)!=1*2*3*...*(n-1)*n*(n+1)


поєтому
(n+1)!-n!=n!*(n+1)-n!=n!*((n+1)-1)=n!*(n+1-1)=n!*n, что и требовалось доказатью
Доказано

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, давайте начнем с раскрытия факториала.

(n+1)! = (n+1) * n! n! = n * (n-1)!

Теперь подставим эти выражения в исходное равенство:

(n+1)! - n! = (n+1) * n! - n! = n! * (n+1 - 1) = n! * n

Таким образом, мы доказали, что для любого натурального числа n верно равенство (n+1)! - n! = n! * n.