Question

Найдите наибольшее значение функции y=12x-7sinx+7 на отрезке [-π/2;0].

Answer 1

Найдем производную по формулам   $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}; \ \ \ (\sin x)' = \cos x; \ \ \ C'=0 \\ \\ \\ y'=(12x - 7\sin x +7)'=(12x)' - (7\sin x)' +(7)'=12 -7 \cos x+0=\\ \\ = 12 -7 \cos x \\ \\ -1 \leq \cos x \leq 1 \\ \\ y'=0 \ \Rightarrow \ 12- 7\cos x =0 \ \Rightarrow \ \cos x=\frac{12}{7}\ \textgreater \ 1$

Экстремумов нет. Наибольшее значение функция может принимать на концах отрезка

$[-\frac{\pi}{2}; 0] \\ \\ y(-\frac{\pi}{2}) = 12 \cdot (-\frac{\pi}{2}) - 7 \sin (-\frac{\pi}{2})+7=-6\pi+7+7 =14 - 6 \pi \\ \\ y(0)=0 -0+7=7 \\ \\ 7\ \textgreater \ 14 -6 \pi$


Наибольшее значение функции y=7

Answer 2

Производная функций: y=12-7cosx, 12-7cosx>0, на всём промежутке она возрастает, подставляем -пи/2 , -6пи+7, подставляем 0, 7, значит ответ 7

Answer 3

Чтобы найти наибольшее значение функции y = 12x - 7sin(x) + 7 на отрезке [-π/2; 0], нам нужно найти точку, где функция достигает своего максимума на этом интервале.

Для начала, давайте найдем производную функции y по x. Производная функции позволяет нам найти точки, где функция имеет экстремумы (максимумы и минимумы).

Производная функции y = 12x - 7sin(x) + 7 выглядит следующим образом: y' = 12 - 7cos(x)

Теперь найдем точки, где производная равна нулю, так как это могут быть точки экстремума: 12 - 7cos(x) = 0

Решим это уравнение: 7cos(x) = 12 cos(x) = 12/7

Теперь найдем значения x, удовлетворяющие этому уравнению на интервале [-π/2; 0]. Для этого возьмем обратный косинус от обоих частей уравнения: x = arccos(12/7)

Однако, наш интервал [-π/2; 0] ограничивает x значениями от -π/2 до 0. Это означает, что мы должны проверить, лежит ли найденное значение x внутри этого интервала.

arccos(12/7) ≈ 0.917

Таким образом, мы получаем одну точку, где производная равна нулю и может быть точкой экстремума нашей функции. Теперь нам нужно проверить, является ли это значение максимумом или минимумом.

Чтобы это сделать, мы можем посмотреть на знак второй производной функции y. Если вторая производная отрицательна в этой точке, то это будет точка максимума.

Вторая производная функции y = 12x - 7sin(x) + 7 выглядит следующим образом: y'' = 7sin(x)

Теперь подставим найденное значение x во вторую производную: y''(0.917) = 7sin(0.917) ≈ 3.215

Так как y''(0.917) положительна, это означает, что найденная точка является точкой минимума функции на интервале [-π/2; 0].

Теперь, чтобы найти наибольшее значение функции y = 12x - 7sin(x) + 7 на интервале [-π/2; 0], мы можем подставить это значение x в исходную функцию: y(0.917) = 12 * 0.917 - 7sin(0.917) + 7 ≈ 8.54

Таким образом, наибольшее значение функции y = 12x - 7sin(x) + 7 на интервале [-π/2; 0] равно примерно 8.54.