Question

Найдите координаты точек плоскости, в которых кубическая парабола y=x^3 пересекается с прямоу y=x . Укажите промежутки значений x, в которых прямая раположена выше кубической параболы.

Answer 1

Решение во вложенном файле

Answer 2

Чтобы найти точки пересечения кубической параболы y = x^3 с прямой y = x, мы должны решить систему уравнений, состоящую из этих двух уравнений. Подставим y = x в уравнение кубической параболы:

x = x^3

Перенесем все в одну сторону:

x^3 - x = 0

Теперь мы имеем уравнение, которое можно факторизовать:

x(x^2 - 1) = 0

Из этого уравнения мы можем найти три возможные значения x: x = 0, x = 1 и x = -1.

Теперь, чтобы найти соответствующие значения y, мы подставим эти значения x в уравнение прямой y = x:

Для x = 0: y = 0 Для x = 1: y = 1 Для x = -1: y = -1

Таким образом, точки пересечения кубической параболы y = x^3 с прямой y = x имеют координаты (0, 0), (1, 1) и (-1, -1).

Промежутки значений x, где прямая находится выше кубической параболы

Чтобы определить, где прямая y = x находится выше кубической параболы y = x^3, мы можем сравнить их значения на различных интервалах значений x.

Прямая находится выше кубической параболы, когда y > x^3.

Давайте проанализируем эту ситуацию:

1. Когда x < -1: - Если x < -1, то x^3 будет меньше x, поэтому y = x будет выше y = x^3. - Например, при x = -2: - y = -2 - y = (-2)^3 = -8 - Таким образом, прямая находится выше кубической параболы на интервале (-∞, -1).

2. Когда -1 < x < 0: - Если -1 < x < 0, то x^3 будет меньше x, поэтому y = x будет выше y = x^3. - Например, при x = -0.5: - y = -0.5 - y = (-0.5)^3 = -0.125 - Таким образом, прямая находится выше кубической параболы на интервале (-1, 0).

3. Когда 0 < x < 1: - Если 0 < x < 1, то x^3 будет больше x, поэтому y = x будет выше y = x^3. - Например, при x = 0.5: - y = 0.5 - y = (0.5)^3 = 0.125 - Таким образом, прямая находится выше кубической параболы на интервале (0, 1).

4. Когда x > 1: - Если x > 1, то x^3 будет больше x, поэтому y = x^3 будет выше y = x. - Например, при x = 2: - y = 2 - y = 2^3 = 8 - Таким образом, прямая находится ниже кубической параболы на интервале (1, +∞).

Таким образом, прямая y = x находится выше кубической параболы y = x^3 на интервалах (-∞, -1) и (0, 1), а ниже на интервале (1, +∞).